Здравствуйте, Lifestyle!
2 а) cos x+3sin(x/2)=-1
1 - 2sin²(x/2) + 3sin(x/2) = -1
2sin²(x/2) - 3sin(x/2) - 2 = 0
Квадратное уравнение относительно sin(x/2)
Diskr = 9 + 16 = 25
sin(x/2) = (3 ± 5)/4 = -1/2
(второй корень 2 отбрасываем, так как sin не может быть больше 1)
=> x₁/2 = - π/6 + 2πk => x₁ = - π/3 + 4πk
x₂/2 = 7π/6 + 2πk => x₂ = 7π/3 + 4πk

********
6sin²x+sin2x=4
6sin²x + 2sinx*cosx = 4(sin²x + cos²x)
6sin²x/cos²x + 2sinx*cosx/cos²x = 4sin²x/cos²x + 4cos²x/cos²x
6tg²x + 2tgx = 4tg²x + 4
tg²x + tgx - 2 = 0
Diskr = 9
tgx = (-1 ± 3)/2 = 1; -2
x₁ = п/4 + пk
x₂ = arcsin(-2) + пk

*******
cos 6x+2cos2x=0
4cos³2x - 3cos2x + 2cos2x = 4cos³2x - cos2x = 0
=> либо cos2x = 0, либо 4cos²2x = 1
В первом случае 2x₁ = п/2 + пk => x₁ = п/4 + пk/2
Во втором случае cos²2x = 1/4 => cos2x = ±1/2 => 2x₂ = п/3 + пk и 2x₃ = -п/3 + пk =>
x₂ = п/6 + пk/2
x₃ = -п/6 + пk/2

Здравствуйте, Lifestyle!

1. Геометрия (аксиомы стереометрии, параллельность прямых и плоскостей)

а) Дока;те, что две различные плоскости параллельны, если любая прямая, пересекающая одну з них, пересекает и другую.

От противного. Предположим, что плоскости альфа и бета пересекаются. Тогда альфа пересекается с гамма, которая параллельна бета.
Любая прямая, проведённая в гамма и пересекающая альфа не будет пересекать бета (из параллельности плоскостей), т.е. нарушается условие, что ЛЮБАЯ прямая пересекающая альфа пересекает бета.
Противоречие, т.о. плоскости параллельны.

б) Точка О - проекция центра окружности, описанной около треугольника АВС, проекция которого дана рисунке.
Постройте проекции высот треугольника.

Проекция сохраняет параллельность прямых и отношение длин отрезков на параллелльных прямых.
В ABC тока O лежала на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам.
Из второго из упомянутых свойств проекции следует, что прямые, соединябющие середины сторон с точкой O, являются проекциями серединных перпендикуляров.
Из первого из упомянутых свойств следует, что проекции высот треугольника параллельны построенным серединным перепендикулярам.
в) Параллелограмм АВСD - проекция ромба с острым углом 60º (углы В и D - проекции тупых углов ромба).
Постройте проекцию перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей к стороне ромба.

Проекция точки пересечения диагоналей будет лежать на пересечении проекций диагоналей, т.е. на пересечении диагоналей параллелограмма.
Ромб с углом 60º состоит из двух равносторонних треугольников.
Перпендикуляр из точки пересечения диагоналей к стороне ромба является перпендикуляром опущенным из середины общей стороны треугольников к основанию.
Легко видеть, что он делит сторону в отношении 1:3.
Как и в задаче b отношение отрезков на параллельных прямых сохраняется, т.е. нам надо провести отрезок из точки пересечения диагоналей параллелограмма к точке, которая находится на расстоянии 1/4 длины стороны от углов B или D.