Здравствуйте, Аксенов Антон!

Здравствуйте, уважаемые эксперты. У меня два примера по «Алгебре и геометрии».
Найти общее решение систем линейных уравнений. Для однородной системы найти фундаментальную систему решений. Для неоднородной системы найти базисную.

1) {3х1 + х2 – 8х3 + 2х4 + х5 = 0
{x1 + 11x2 – 12x3 – 5x5 = 0
{x1 – 5x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0

x1 – 5x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0 третье уравнение
16x2 – 14x3 - x4 – 8x5 = 0 из второго вычли третье
16х2 – 14х3 - х4 - 8х5 = 0 из первого вычли третье, умноженное на 3

x2 = (14х3 + х4 + 8х5)/16 = (7/8)x3 + (1/16)x4 + (1/2)x5
x1 = 5x2 - 2x3 - x4 - 3x5 = (19/8)x3 - (11/16)x4 - (1/2)x5

x3, x4, x5 - свободные переменные.
В качестве фундаментальной системы выберем 3 вектора в которых одна из свободных переменных не 0, а остальные свободные переменные - 0.
Ненулевую переменную выберем так, чтобы x1 и x2 получились целочисленными (x3 = 8, x4 = 16, x5 = 2):
x1 = 19, x2 = 7, x3 = 8, x4 = 0, x5 = 0
x1 = -11, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 16, x5 = 0
x1 = -1, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 2

2)
x1 + 2x2 – 3x3 – 4x4 = 1
3x1 + 7x2 – 2x3 + x5 = 4
2x1 + 5x2 + x3 + 4x4 + x5 = 3

x1 + 2x2 – 3x3 – 4x4 = 1
x2 + 7x3 + 12x4 + x5 = 1
x2 + 7x3 + 12x4 + x5 = 1

Так как два последних уравнения линейно зависимы, то независмых уравнений только 2 и своббодных переменных 5 - 2 = 3.
Базисными решениями называются решения, при которых свободные переменные равны 0.
Нужно перебрать C(5,3) = 10 различных троек свобдных переменных, присвоить их 0 и найти решение оставшейся системы.
Например, для тройки независимых переменных x3 = x4 = x5 = 0 базисное решение - решение системы
x1 + 2x2 – 3*0 – 4*0 = 1
x2 + 7*0 + 12*0 + 0 = 1
Итого, (-1, 1, 0, 0, 0).
Это же надо повторить для остальных 9 троек.