Результат

Многие из нас летали в больших самолётах, где борт-проводник сообщал: "Наш авиа-лайнер летит на высоте 10 тыс м, температура за бортом -50 °С". Поэтому общеизвестна зависимость снижения температуры воздуха от высоты. В Условии текущей задачи задано: "Абсолютная температура газа меняется с высотой h по закону T(h) = T₀·(1 + a·h)" - что при положительном значении
a = 5·10^-5 м^-1 означает повышение температуры воздуха на высоте и противоречит законам физики.

Можно допустить, будто задача придумана не для родной нам земной атмосферы, а для какого-то огромного закрытого сверху колпака высотой 500 м (проект далёкого Будущего), где нагретый воздух поднимается вверх, но не может покинуть границу колпака.
Допустим, что закон T(h) = T₀·(1 + a·h) соблюдается при заданном положительном a-значении. Но можно ли использовать "зависимость давления от высоты: P = P₀·e^[-M·g·h / (R·T)]" , которую применил эксперт Magic2hand в своём выше-Ответе ?

Я несколько дней искал в учебниках и в интернете инфу по темам "распределение Больцмана" и "Барометрическая формула". В университетской статье "Барометрическая формула" Ссылка1 написано:
"Выведем закон изменения давления с высотой. Предположим, что: 1) поле тяготения однородно,
2) температура газа постоянна и масса всех молекул одинакова." - то есть: применение обычной, популярной Барометрической формулы (зависимости давления от высоты) ограничено условием: "температура газа постоянна".

Как же тогда решать задачи, где температура газа НЕ есть постоянна? Я полагаю, надо вывести уточнённую Барометрическую формулу, учитывающую НЕпостоянство температуры воздуха на высоте.

Начинаем вывод формулы, как в выше-упомянутой статье: "Мысленно выделим в атмосфере вертикальный столб с площадью поперечного сечени [$916$]S=1 м². Атмосферное давление на высоте h задаётся весом столба воздуха, простирающегося от сечения, расположенного на данной высоте, до внешней границы атмосфеpы".
Но когда мы доходим до выражения плотности газа, то заменяем абсолютную постоянную температуру T газа на её закон-функцию
T(h) = T₀·(1 + a·h) , заданную в Условии задачи как зависимость температуры от высоты..
Дальнейшие выкладки я показываю на прилагаемом скриншоте окна приложения Маткад.
Ответ : Давление газа на высоте 500 м равно 94524 Па. Это значение почти такое же, как вычисленное в выше-Ответе по упрощённой Барометрич-формуле. Отличие лишь в 4м знаке точности (на 0,07 %). И можно было не публиковать мой Ответ как мелочную поправку. Тем более, что автор консультации поставил Оценку "5" , значит, препод принял Решение как правильное. Я сохранил было это своё Решение для ответа на будущую подобную задачу.

Однако, нам объявлено о скором прекращении работы нашего Портала. Вдруг кому-то попадётся дотошный преподаватель и он задаст Вам или Вашему подопечному студенту каверзный вопрос о допустимой границе применения упрощённой Барометрической формулы. В таком случае надо не растеряться и ответить примерно так: Границей является точность вычисления произведения a·h .
Если |a·h| << 1 , тогда можно применить упрощающую формулу
ln(1 + a·h) [$8776$] a·h (см учебную статью "Бесконечно малые функции. Замечательные эквивалентности" Ссылка2 .
И тогда сложная уточнённая Барометрическая формула превращается в обычную упрощённую.