Здравствуйте, Karaler!

Какова, по-Вашему, начальная скорость капельки? На какое расстояние вдоль дороги переместится, по-Вашему, капелька к моменту своего падения?

В условии задачи, которое вы представили, нет никаких данных, кроме радиуса колеса. Нужно что-то ещё. Иначе времени здесь неоткуда взяться. Уточните условие задачи.

Ваш подход абсолютно правилен. Время горизонтального полета капли равно времени ее падения.
t0 = S/(2v)=4R/g откуда S=4v*(R/g)^(1/2). Теперь осталось поделить на скорость движения колеса V
и получить искомое время наезда t. t=4*(R/g)^(1/2).

Надеюсь, Вам понятно, что условие "Колесо движется без проскальзывания" означает, что скорость капли в момент её отрыва превышает скорость центра колеса вдвое ? Затем движение капли - это "Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту" Ссылка.
Дальше сами справитесь? Если помощь ещё нужна, опубликуйте сюда имеющиеся у Вас числовые данные к Условию задачи.

скорость капли в момент её отрыва превышает скорость центра колеса вдвое

Здравствуйте! Чем подкрепляется это утверждение?

Здравствуйте Karaler !
Утверждение НЕ может "подкрепляется", тк оно не живое. Человек может "умывается" - умывает себя, "подкрепляется" - подкрепляет себя. Вы также можете подкрепить это утверждение (очень полезное для Решения Вашей задачи!) своими знаниями по теме Физика \ Кинематика \ КруговоеДвижение. Если у Вас не хватает знаний, значит, надо почитать учебник (например "Физика в СреднейШколе. Аксенович, Ракина" Ссылка1 ) или к-нибудь учебную статью типа "Движение по окружности - задачи и Решения" Ссылка2 .

Скорость капли в момент её отрыва превышает скорость центра колеса вдвое так как мгновенный центр вращения в точке касания.
Угловая скорость омега = v/R; скорость отрыва капли V = омега * 2R.

t=4*(R/g)^(1/2).

1)Так как колесо представляет собой жесткий диск, то угловая скорость как всего колеса, так и грязи будет равна. Каждая точка колеса совершает движение по окружности c радиусом R, а капля с радиусом 2R. Отсюда Vгрязи=2Vколеса.
2) По второму закону Ньютона грязь оторвется от колеса при a(центростремительное)=g. Из определения центростремительного ускорения скорость каждой точки колеса равна (gR)^(1/2). Тогда скорость капли 2(gR)^(1/2).
3) Горизонтальное расстояние тогда можно описать так: S=2(gR)^(1/2) cosx(угла, под которым падала грязь)t. Также мы помним, что колесо двигалось равномерно, тогда это же расстояние равно (gR)^(1/2)t. если приравнять эти выражения, то можно найти угол х и он будет равен 60 градусам.
4) Вертикальное расстояние это диаметр колеса, тогда: 2R=2(gR)^(1/2) 3^(1/2)/2 t + gt^2 1/2. Если решать это квадратное уравнение относительно t, то я получаю t=(R/g)^(1/2).
В чем моя ошибка?

Если в пункте 1) получено V =2v, то зачем измышления пункта 2)?
Тело (грязь) летит горизонтально со скоростью V =2v с высоты 2R.
Остальное стандартно: время равноускоренного падения t0=(2*S/g)^(1/2) равно времени горизонтального полета t0=S/(2v).
Из этого равенства находим горизонтальное расстояние S, которое при равномерном движении со скоростью v,
колесо преодолеет за искомое время t. Всё.

Зелёная мигалка означает, что Вы сейчас на сайте и ждёте ответ на свой вопрос "В чем моя ошибка?" - щас попытаюсь объяснить Вашу путаницу. Ждите…

Итак: Ваше "2) По второму закону Ньютона грязь оторвется от колеса при a(центростремительное)=g. Из определения…" - Вы напрасно прилепили сюда динамику неправильным боком и запутали себя ещё больше. На отрыв капли влияют много факторов (сила поверхностного натяжения, высота над землёй, размер капли…). Нам сейчас вредно отвлекаться на ненужные причины, тк Вам дано конкретное Условие : Капля оторвалась в верхней точке колеса, и никакие центростремительные силы на неё не действуют, она летит в начальный момент горизонтально и падает с ускорением g .

"Каждая точка колеса совершает движение по окружности c радиусом R, а капля с радиусом 2R" - Вы снова спутываете в 1 кучу все точки колеса и центры вращения. На самом деле по окружности c радиусом R вращаются точки обода колеса (а не каждая точка колеса) и капля, слетающая с обода.

Радиус вращения капли 2·R относительно нижней точки колеса (а не центра колеса) имеет смысл при использовании метода "Мгновенный центр вращения". Этот абстрактный метод не все понимают. И если Вы не изучили этот метод в учебных статьях с Примерами Решений, тогда Вам лучше не запутывать себя этим методом.
Если Вы - школьник, то рассуждайте по-школьному примерно так : Центр колеса движется равномерно-поступательно со скоростью v . Обод колеса и капля участвуют в 2х движениях : поступательном со скоростью v и вращательном с угловой скоростью
[$969$] = v / R .
Векторы этих скоростей вычитаются в нижней точке колеса (Колесо движется без проскальзывания, и векторная сумма равна нулю в нижней точке). Но в верхней точке колеса векторы суммируются, и поэтому скорость верхней точке обода и капли равна 2·R .
Об этом подробно написано в статье по моей выше-ссылке. Вы читали статью?