Здравствуйте, Anna!
Рассмотрим функцию
![](https://rfpro.ru/formulas/91458.png)
Область определения функции -- вся числовая прямая, за исключением точек
![](https://rfpro.ru/formulas/35447.png)
и
![](https://rfpro.ru/formulas/19413.png)
в которых знаменатель равен нулю.
Функция не является периодической.
Поскольку
![](https://rfpro.ru/formulas/91460.png)
постольку функция является чётной. Её график симметричен относительно оси ординат. Учтя это, можно исследовать функцию только при
![](https://rfpro.ru/formulas/29755.png)
Поскольку при
![](https://rfpro.ru/formulas/3918.png)
имеем
![](https://rfpro.ru/formulas/91461.png)
постольку график функции пересекает ось ординат и ось абсцисс в начале координат -- точке
![](https://rfpro.ru/formulas/91462.png)
Других точек пересечения с координатными осями у графика функции нет.
Пусть
![](https://rfpro.ru/formulas/91463.png)
Тогда
![](https://rfpro.ru/formulas/91464.png)
а поскольку
![](https://rfpro.ru/formulas/91465.png)
то
![](https://rfpro.ru/formulas/1801.png)
При
![](https://rfpro.ru/formulas/41719.png)
имеем
![](https://rfpro.ru/formulas/91468.png)
Поскольку
постольку
![](https://rfpro.ru/formulas/13331.png)
-- вертикальная асимптота.
Поскольку
постольку
![](https://rfpro.ru/formulas/34233.png)
-- горизонтальная асимптота графика функции.
Поскольку
постольку при
![](https://rfpro.ru/formulas/3918.png)
функция имеет локальный максимум, достигая значения
![](https://rfpro.ru/formulas/91475.png)
при
![](https://rfpro.ru/formulas/41719.png)
функция убывает; при
![](https://rfpro.ru/formulas/67780.png)
функция тоже убывает. Убывание функции связано с тем, что на этих промежутках
![](https://rfpro.ru/formulas/91479.png)
Поскольку
(вычисление производной показано в первом и втором прикреплённых файлах), постольку
![](https://rfpro.ru/formulas/91480.png)
и график функции направлен выпуклостью вверх при
![](https://rfpro.ru/formulas/91481.png)
и график функции направлен выпуклостью вниз при
![](https://rfpro.ru/formulas/91482.png)
Точек перегиба у графика функции нет, потому что вторая производная функции не принимает нулевых значений.
Используя полученные результаты и вычислив значения функции ещё в нескольких точках по своему усмотрению, Вы можете построить график функции. График в прикреплённом файле -- Вам в помощь.
Об авторе:
Facta loquuntur.