Условие: x(t) = e
t , y(t) = ln(t) , u = x
y .
Вычислить значение производной сложной функции u = u(x,y) при t
0 = 1 .
Решение: Максимально упрощаем данную сложную функцию:
u(t) = x(t)
y(t) = (e
t)^[ln(t)] = e^[t·ln(t)] = e^[ln(t
t)] = t
t , используя школьные формулы (a
n)
k = a^(n·k) , n·ln(b) = ln(b
n) , e^[ln(b)] = b
Для вычисления производной степенно-показательной функции u(t) = t
t используем формулу
u'(t) = [ln(t) + 1]·t
t , подробно см абзац "
Производная степенно-показательной функии" учебной статьи "
Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции"
Ссылка.
При t = t
0 = 1 получаем
Ответ: u'(1) = [ln(1) + 1]·(1
1) = (0 + 1)·1 = 1