Здравствуйте, kabanov.anton2010!
Выполним исследование функции
![](https://rfpro.ru/formulas/90461.png)
и построим её график.
Поскольку
![](https://rfpro.ru/formulas/90462.png)
при всех вещественных значениях
![](https://rfpro.ru/formulas/26584.png)
постольку заданная функция определена на всём множестве вещественных чисел.
Функция не является чётной, не является нечётной, не является периодической.
Если
![](https://rfpro.ru/formulas/19411.png)
то
![](https://rfpro.ru/formulas/90463.png)
то есть график функции пересекает ось ординат в точке
![](https://rfpro.ru/formulas/90464.png)
Пусть
![](https://rfpro.ru/formulas/20198.png)
Тогда
![](https://rfpro.ru/formulas/36848.png)
То есть график функции пересекает ось абсцисс в точке
![](https://rfpro.ru/formulas/90468.png)
Поскольку график квадратного трёхчлена
![](https://rfpro.ru/formulas/90469.png)
симметричен относительно прямой
![](https://rfpro.ru/formulas/57603.png)
постольку и график функции симметричен относительно этой прямой. Соответственно изменению функции
![](https://rfpro.ru/formulas/90470.png)
изменяется и заданная функция: убывает при
![](https://rfpro.ru/formulas/44697.png)
и возрастает при
![](https://rfpro.ru/formulas/90471.png)
Минимальное значение квадратного трёхчлена достигается при
![](https://rfpro.ru/formulas/57603.png)
оно равно
![](https://rfpro.ru/formulas/23467.png)
Также при
![](https://rfpro.ru/formulas/35447.png)
достигается и минимальное значение рассматриваемой функции; оно равно
![](https://rfpro.ru/formulas/90472.png)
При остальных значениях
![](https://rfpro.ru/formulas/1251.png)
функция принимает положительные значения.
Вычислим производные функции:
Значит, вторая производная функции равна нулю при
![](https://rfpro.ru/formulas/3918.png)
и
![](https://rfpro.ru/formulas/38971.png)
Если
![](https://rfpro.ru/formulas/38922.png)
или
![](https://rfpro.ru/formulas/60034.png)
то
![](https://rfpro.ru/formulas/58721.png)
если
![](https://rfpro.ru/formulas/57589.png)
то
![](https://rfpro.ru/formulas/87104.png)
Следовательно, точки
![](https://rfpro.ru/formulas/35453.png)
и
![](https://rfpro.ru/formulas/3918.png)
-- точки перегиба графика функции. Между этими точками график функции направлен выпуклостью вниз, а левее первой точки и правее второй -- выпуклостями вверх.
Вычислим значения функции в точках перегиба:
Из характера изменения указанного выше квадратного трёхчлена следует, что у графика заданной функции нет асимптот. Она непрерывна.
Частичный график функции, совмещённый с частичными графиками её первой и второй производных, показан в прикреплённом файле.
Об авторе:
Facta loquuntur.