Здравствуйте, Gerren!
Согласно [1, с. 369], при
![](https://rfpro.ru/formulas/40560.png)
(вакуум) потенциальная энергия электрического заряда
![](https://rfpro.ru/formulas/40087.png)
в данной точке электростатического поля, удалённой на расстояние
![](https://rfpro.ru/formulas/18920.png)
от заряда
![](https://rfpro.ru/formulas/64501.png)
создающего поле, при условии, что
![](https://rfpro.ru/formulas/64502.png)
равна
Выражение
![](https://rfpro.ru/formulas/64504.png)
представляет собой потенциал поля точечного заряда
![](https://rfpro.ru/formulas/64501.png)
при условии
![](https://rfpro.ru/formulas/64505.png)
на расстоянии
![](https://rfpro.ru/formulas/18920.png)
от этого заряда.
В центре правильного
![](https://rfpro.ru/formulas/1527.png)
-угольника потенциал
![](https://rfpro.ru/formulas/28.png)
электростатического поля равен сумме
![](https://rfpro.ru/formulas/1527.png)
потенциалов
![](https://rfpro.ru/formulas/39289.png)
электростатических полей каждой из
![](https://rfpro.ru/formulas/1527.png)
сторон правильного
![](https://rfpro.ru/formulas/1527.png)
-угольника.
Вычислим потенциал
![](https://rfpro.ru/formulas/64506.png)
Линейная плотность заряда одной стороны составляет
![](https://rfpro.ru/formulas/64507.png)
Расстояние от центра правильного
![](https://rfpro.ru/formulas/1527.png)
-угольника до его стороны составляет
![](https://rfpro.ru/formulas/64508.png)
Удобно ввести обозначение
![](https://rfpro.ru/formulas/64509.png)
Тогда
![](https://rfpro.ru/formulas/64511.png)
Пусть
![](https://rfpro.ru/formulas/16959.png)
-- середина рассматриваемой стороны. Введём ось абсцисс с началом в точке
![](https://rfpro.ru/formulas/37145.png)
Заряд, приходящийся на элемент длины
![](https://rfpro.ru/formulas/37314.png)
рассматриваемой стороны равен
![](https://rfpro.ru/formulas/64512.png)
а его расстояние до центра правильного
![](https://rfpro.ru/formulas/1527.png)
-угольника равно
![](https://rfpro.ru/formulas/64513.png)
Интегрируя вдоль рассматриваемой стороны. получим
Как указано в [2, с. 328, 403], при
![](https://rfpro.ru/formulas/64517.png)
с точностью до членов порядка
![](https://rfpro.ru/formulas/64518.png)
Тогда
Поскольку, согласно [1, с. 369],
![](https://rfpro.ru/formulas/64521.png)
постольку
Полученный результат представляется необычным. Тем не менее, я получал его несколько раз, решая задачу и другими способами, в течение более чем шести часов. Если Вы найдёте ошибку в моём расчёте, то исправьте её и получите правильный ответ.
Литература
1. Яворский Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов -- М.: ООО "Издательство Оникс", 2007. -- 1056 с.
2. Фейнмановские лекции по физике. Задачи и упражнения с ответами и решениями -- М.: Мир, 1969. -- 624 с.
Об авторе:
Facta loquuntur.