Здравствуйте, kovalenina!
1. Докажем сначала, что если произведение
![](https://rfpro.ru/formulas/1527.png)
положительных чисел
![](https://rfpro.ru/formulas/37237.png)
равно
![](https://rfpro.ru/formulas/31407.png)
то наименьшее значение, которое принимает их сумма, равно
![](https://rfpro.ru/formulas/1527.png)
и достигается при
![](https://rfpro.ru/formulas/63290.png)
то есть
![](https://rfpro.ru/formulas/63291.png)
Воспользуемся индукцией по
![](https://rfpro.ru/formulas/28156.png)
Пусть
![](https://rfpro.ru/formulas/63271.png)
Докажем, что
![](https://rfpro.ru/formulas/63272.png)
В самом деле,
![](https://rfpro.ru/formulas/63276.png)
Последнее неравенство верно, потому что
![](https://rfpro.ru/formulas/63277.png)
и
![](https://rfpro.ru/formulas/63278.png)
Тогда верно, что
![](https://rfpro.ru/formulas/63279.png)
Равенство достигается при
![](https://rfpro.ru/formulas/63280.png)
Рассмотрим числа
![](https://rfpro.ru/formulas/63281.png)
Количество этих чисел равно
![](https://rfpro.ru/formulas/63282.png)
а произведение равно
![](https://rfpro.ru/formulas/23467.png)
Предположим, что
![](https://rfpro.ru/formulas/63283.png)
Заметим, что при выбранных
![](https://rfpro.ru/formulas/14865.png)
и
![](https://rfpro.ru/formulas/14870.png)
выполняется неравенство
![](https://rfpro.ru/formulas/63286.png)
откуда
![](https://rfpro.ru/formulas/63284.png)
Значит,
![](https://rfpro.ru/formulas/63289.png)
Если же
![](https://rfpro.ru/formulas/63292.png)
то их сумма равна
![](https://rfpro.ru/formulas/28156.png)
2. Рассмотрим теперь числа
![](https://rfpro.ru/formulas/63295.png)
произведение которых равно
![](https://rfpro.ru/formulas/23467.png)
По доказанному выше
![](https://rfpro.ru/formulas/63301.png)
(неравенство Коши).
3. По доказанному выше для
![](https://rfpro.ru/formulas/1527.png)
чисел
![](https://rfpro.ru/formulas/63305.png)
и числа
![](https://rfpro.ru/formulas/8485.png)
имеем
Об авторе:
Facta loquuntur.