Здравствуйте, Марина!
Пусть даны точки
Имеем
![](https://rfpro.ru/formulas/56571.png)
-- нормальный вектор плоскости
![](https://rfpro.ru/formulas/56570.png)
![](https://rfpro.ru/formulas/56581.png)
-- нормальный вектор плоскости
![](https://rfpro.ru/formulas/56589.png)
1) Поскольку вектор
![](https://rfpro.ru/formulas/53426.png)
параллелен вектору
![](https://rfpro.ru/formulas/56180.png)
постольку плоскость
![](https://rfpro.ru/formulas/56573.png)
можно задать общим уравнением
![](https://rfpro.ru/formulas/23180.png)
или
![](https://rfpro.ru/formulas/56574.png)
что, в принципе можно было установить сразу, не вычисляя координаты вектора
![](https://rfpro.ru/formulas/56578.png)
а рассмотрев координаты точек
![](https://rfpro.ru/formulas/56576.png)
У этих точек одинаковые аппликаты
![](https://rfpro.ru/formulas/56577.png)
2) Плоскость
![](https://rfpro.ru/formulas/56582.png)
проходит через точку
![](https://rfpro.ru/formulas/16909.png)
и имеет нормальный вектор
![](https://rfpro.ru/formulas/56583.png)
Поэтому
![](https://rfpro.ru/formulas/56587.png)
-- общее уравнение плоскости
![](https://rfpro.ru/formulas/56589.png)
3) Направляющим вектором оси
![](https://rfpro.ru/formulas/20585.png)
является вектор
![](https://rfpro.ru/formulas/56590.png)
Если плоскость
![](https://rfpro.ru/formulas/56591.png)
проходит через точки
![](https://rfpro.ru/formulas/1269.png)
и
![](https://rfpro.ru/formulas/16909.png)
параллельно оси
![](https://rfpro.ru/formulas/56592.png)
то её нормальным вектором является вектор
Значит,
![](https://rfpro.ru/formulas/56600.png)
-- общее уравнение плоскости
![](https://rfpro.ru/formulas/56601.png)
4) Вычислим координаты точки
![](https://rfpro.ru/formulas/16679.png)
-- центра тяжести треугольника
![](https://rfpro.ru/formulas/15883.png)
как средние арифметические соответствующих координат его вершин.
Если плоскость
![](https://rfpro.ru/formulas/56604.png)
отсекает на осях координат равные отрезки и проходит через точку
![](https://rfpro.ru/formulas/27603.png)
то за её нормальный вектор можно принять
![](https://rfpro.ru/formulas/56605.png)
Тогда
![](https://rfpro.ru/formulas/56608.png)
-- общее уравнение плоскости
![](https://rfpro.ru/formulas/56609.png)
5) Вектор
![](https://rfpro.ru/formulas/56610.png)
является нормальным вектором плоскости
![](https://rfpro.ru/formulas/56611.png)
Поскольку точка
![](https://rfpro.ru/formulas/16679.png)
расположена в этой плоскости, постольку
![](https://rfpro.ru/formulas/56614.png)
-- общее уравнение плоскости
![](https://rfpro.ru/formulas/56611.png)
6) Вычислим координаты точки
![](https://rfpro.ru/formulas/1531.png)
-- середины отрезка
![](https://rfpro.ru/formulas/56615.png)
Поскольку плоскость
![](https://rfpro.ru/formulas/56617.png)
параллельна плоскости
![](https://rfpro.ru/formulas/56618.png)
постольку вектор
![](https://rfpro.ru/formulas/56619.png)
является и её нормальным вектором. Значит,
![](https://rfpro.ru/formulas/56621.png)
-- общее уравнение плоскости
![](https://rfpro.ru/formulas/56622.png)
************
1) Вычислим косинус угла между плоскостями
![](https://rfpro.ru/formulas/56582.png)
и
![](https://rfpro.ru/formulas/56591.png)
как косинус угла между их нормальными векторами.
2) Вычислим расстояние от точки
![](https://rfpro.ru/formulas/16679.png)
до плоскости
![](https://rfpro.ru/formulas/56601.png)
![](https://rfpro.ru/formulas/56631.png)
(ед. длины).
3) Вычислим расстояние между плоскостями
![](https://rfpro.ru/formulas/56632.png)
и
![](https://rfpro.ru/formulas/56622.png)
![](https://rfpro.ru/formulas/56633.png)
(ед. длины).
Об авторе:
Facta loquuntur.