Здравствуйте, IIISergeyIII!
Рассмотрим заданную рекуррентно последовательность
Первый член этой последовательности равен
а каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на
и вычитанием
Выпишем несколько первых членов этой последовательности:
Рассматривая конечную последовательность
числителей полученных дробей, установим, что она описывается формулой
Поэтому формула
-го члена заданной последовательности имеет вид
Но такой вывод нуждается в более строгом обосновании, потому что мы не можем с уверенностью утверждать, что полученная закономерность распространяется на все члены заданной последовательности.
Чтобы выполнить такое обоснование, поступим следующим образом:
Подберём число
так, чтобы было
Тогда
последовательность
является геометрической прогрессией со знаменателем
то есть
Получили ту же формулу, но более строгим путём.
Об авторе:
Facta loquuntur.