Здравствуйте, IIISergeyIII!
Рассмотрим заданную рекуррентно последовательность
Первый член этой последовательности равен
![](https://rfpro.ru/formulas/40802.png)
а каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на
![](https://rfpro.ru/formulas/32951.png)
и вычитанием
![](https://rfpro.ru/formulas/50567.png)
Выпишем несколько первых членов этой последовательности:
Рассматривая конечную последовательность
числителей полученных дробей, установим, что она описывается формулой
Поэтому формула
![](https://rfpro.ru/formulas/1527.png)
-го члена заданной последовательности имеет вид
Но такой вывод нуждается в более строгом обосновании, потому что мы не можем с уверенностью утверждать, что полученная закономерность распространяется на все члены заданной последовательности.
Чтобы выполнить такое обоснование, поступим следующим образом:
Подберём число
![](https://rfpro.ru/formulas/28094.png)
так, чтобы было
![](https://rfpro.ru/formulas/50586.png)
Тогда
![](https://rfpro.ru/formulas/50587.png)
последовательность
![](https://rfpro.ru/formulas/50588.png)
является геометрической прогрессией со знаменателем
![](https://rfpro.ru/formulas/50589.png)
то есть
Получили ту же формулу, но более строгим путём.
Об авторе:
Facta loquuntur.