Здравствуйте, shinghalova!
Запишем уравнение в виде
![](https://rfpro.ru/formulas/48036.png)
Уравнение вида
![](https://rfpro.ru/formulas/48037.png)
является уравнением в полных дифференциалах, если функции
M и
N непрерывны, дифференцируемы и имеют непрерывные частные производные, причём
![](https://rfpro.ru/formulas/48038.png)
Тогда левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции
u(x, y), причём
![](https://rfpro.ru/formulas/48040.png)
В данном случае
M(x, y) = 2x,
N(x, y) = y[sup]2[/sup]+2y+x[sup]2[/sup] и
![](https://rfpro.ru/formulas/48042.png)
то есть
![](https://rfpro.ru/formulas/48045.png)
Тем не менее, иногда удаётся подобрать такую дополнительный множитель
[$956$](x, y), что уравнение
![](https://rfpro.ru/formulas/48043.png)
становится уравнением в полных дифференциалах. Тогда для этого уравнения будет выполняться условие
![](https://rfpro.ru/formulas/48046.png)
или
![](https://rfpro.ru/formulas/48047.png)
откуда
![](https://rfpro.ru/formulas/48048.png)
или после деления на
[$956$]![](https://rfpro.ru/formulas/48068.png)
В данном случае
![](https://rfpro.ru/formulas/48069.png)
Это условие выполняется, если
![](https://rfpro.ru/formulas/48071.png)
откуда
![](https://rfpro.ru/formulas/48067.png)
Домножая исходное уравнение на
e[sup]y[/sup], получаем
![](https://rfpro.ru/formulas/48054.png)
Для этого уравнения
M(x, y) = 2xe[sup]y[/sup],
N(x, y) = (y[sup]2[/sup]+2y+x[sup]2[/sup])e[sup]y[/sup] и
![](https://rfpro.ru/formulas/48055.png)
то есть имеем уравнение в полных дифференциалах, левая часть которого - полный дифференциал некоторой функции
u(x, y). Так как
![](https://rfpro.ru/formulas/48056.png)
то
![](https://rfpro.ru/formulas/48057.png)
Тогда
![](https://rfpro.ru/formulas/48058.png)
а с другой стороны
![](https://rfpro.ru/formulas/48059.png)
Приравнивая, получаем
![](https://rfpro.ru/formulas/48060.png)
откуда
![](https://rfpro.ru/formulas/48061.png)
и
![](https://rfpro.ru/formulas/48062.png)
то есть общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид
![](https://rfpro.ru/formulas/48063.png)
Подставляя
x = 1,
y = 0, получаем
С = 1, то есть решением задачи Коши при заданном начальном условии будет