Здравствуйте, oktyabrinabaeva!
Анализируя условие задачи, придём к выводу, что рассматриваемое электрическое поле обладает осевой симметрией, силовые линии поля - прямые, направленные радиально в любой плоскости, которая перпендикулярна оси цилиндра.
Обозначим объёмную плотность заряда внутри цилиндра буквой
![](https://rfpro.ru/formulas/28081.png)
Воспользуемся теоремой Гаусса. Вспомогательную поверхность радиуса
![](https://rfpro.ru/formulas/18920.png)
примем цилиндрической, соосной рассматриваемому цилиндру и имеющей конечную длину
![](https://rfpro.ru/formulas/24404.png)
Теорема Гаусса для вспомогательной поверхности в вакууме может быть записана в виде
где
![](https://rfpro.ru/formulas/45766.png)
- полный заряд, содержащийся в объёме, который ограничен вспомогательной поверхностью
![](https://rfpro.ru/formulas/24384.png)
- электрическая постоянная. На торцах вспомогательной поверхности векторы
![](https://rfpro.ru/formulas/20765.png)
и
![](https://rfpro.ru/formulas/45769.png)
взаимно перпендикулярны, и их скалярное произведение равно нулю. На боковой поверхности вспомогательного цилиндра нормаль совпадает с направлением радиус-вектора, поэтому
Следовательно,
Полный заряд, стоящий в правой части формулы
![](https://rfpro.ru/formulas/36705.png)
зависит от радиуса
![](https://rfpro.ru/formulas/18920.png)
вспомогательной поверхности.
При
![](https://rfpro.ru/formulas/45776.png)
Тогда из выражений
![](https://rfpro.ru/formulas/45780.png)
получим
При
![](https://rfpro.ru/formulas/45789.png)
Тогда из выражений
![](https://rfpro.ru/formulas/45791.png)
получим
Из выражений
![](https://rfpro.ru/formulas/45797.png)
видно, что при
![](https://rfpro.ru/formulas/45776.png)
напряжённость
![](https://rfpro.ru/formulas/45798.png)
поля прямо пропорциональна
![](https://rfpro.ru/formulas/41283.png)
а при
![](https://rfpro.ru/formulas/45799.png)
- обратно пропорциональна
![](https://rfpro.ru/formulas/45800.png)
При этом
то есть функция
![](https://rfpro.ru/formulas/45803.png)
непрерывна в точке
![](https://rfpro.ru/formulas/45804.png)
Итак,
Эскиз графика функции
![](https://rfpro.ru/formulas/45803.png)
показан ниже.
На заимствованном мной рисунке опечатка: на втором участке графика
пропорциональна не
а ![](https://rfpro.ru/formulas/45843.png)
Зависимость
![](https://rfpro.ru/formulas/45806.png)
потенциала
![](https://rfpro.ru/formulas/28.png)
рассматриваемого поля от радиуса
![](https://rfpro.ru/formulas/18920.png)
вспомогательной поверхности можно установить, учитывая, что
![](https://rfpro.ru/formulas/45807.png)
Тогда при
![](https://rfpro.ru/formulas/45776.png)
В частности, если принять, что
![](https://rfpro.ru/formulas/45819.png)
(начало отсчёта потенциала выбрано на оси объёмно заряженного цилиндра), то
![](https://rfpro.ru/formulas/45824.png)
и при
![](https://rfpro.ru/formulas/45789.png)
В силу непрерывности функции
![](https://rfpro.ru/formulas/45806.png)
и согласно формулам
![](https://rfpro.ru/formulas/45828.png)
получим
Из формул
![](https://rfpro.ru/formulas/45835.png)
получим, что при
![](https://rfpro.ru/formulas/45789.png)
Итак, если
![](https://rfpro.ru/formulas/45809.png)
то
Разумеется, Вы должны проверить предложенное решение задачи прежде, чем использовать его.
Об авторе:
Facta loquuntur.