Здравствуйте, ms.nastasya2512!
Пусть функция задана формулой
Выполним её исследование методами дифференциального исчисления и теории пределов.
Область определения функции - множество всех действительных чисел.
При
![](https://rfpro.ru/formulas/3918.png)
имеем
![](https://rfpro.ru/formulas/42388.png)
то есть
график функции пересекает ось ординат в точке ![](https://rfpro.ru/formulas/42389.png)
Решив уравнение
![](https://rfpro.ru/formulas/42390.png)
вычислим корень
![](https://rfpro.ru/formulas/40641.png)
Значит,
график функции пересекает ось абсцисс в точке
Функция принимает положительные значения при
и отрицательные значения при
График функции не имеет точек разрыва и вертикальных асимптот.
Функция не является ни чётной, ни нечётной. Функция не является периодической.
Продифференцируем функцию:
Решив уравнение
![](https://rfpro.ru/formulas/42395.png)
вычислим корень
![](https://rfpro.ru/formulas/42396.png)
При
![](https://rfpro.ru/formulas/42397.png)
производная функции принимает положительные значения. При
![](https://rfpro.ru/formulas/42398.png)
производная функции принимает отрицательные значения. Значит,
функция возрастает при
и убывает при
При
функция имеет глобальный максимум, равный
Других стационарных точек у функции нет.
Продифференцируем функцию второй раз:
Вторая производная функции равна нулю при
![](https://rfpro.ru/formulas/31651.png)
принимает положительные значения при
![](https://rfpro.ru/formulas/42403.png)
и отрицательные значения при
![](https://rfpro.ru/formulas/42404.png)
Значит,
график функции имеет перегиб в точке ![](https://rfpro.ru/formulas/31645.png)
(значение функции в этой точке
![](https://rfpro.ru/formulas/42405.png)
),
направлен выпуклостью вниз при
и выпуклостью вверх при ![](https://rfpro.ru/formulas/42404.png)
Вычислим предел отношения
![](https://rfpro.ru/formulas/42250.png)
при
![](https://rfpro.ru/formulas/34237.png)
Получим
при
![](https://rfpro.ru/formulas/42251.png)
![](https://rfpro.ru/formulas/42408.png)
(см.
здесь);
при
![](https://rfpro.ru/formulas/42254.png)
![](https://rfpro.ru/formulas/42409.png)
(см.
здесь).
При
![](https://rfpro.ru/formulas/42251.png)
поэтому
прямая
является горизонтальной асимптотой графика функции при
Других асимптот у графика функции нет.
По полученным данным Вы можете построить схематичный график функции. График, построенный с помощью онлайн-ресурса в Интернете, показанный ниже, поможет Вам в этом.
Об авторе:
Facta loquuntur.