По третьей задаче:
Так как:
cos(x) = 1 - (x2/2!) + (x4/4!) - (x6/6!) + ... = [$8721$]{n=0...[$8734$]} { ((-1)n * x2n) / (2n)! }
при любом действительном х,
то:
f(x) = 1 - cos(x) = (x2/2!) - (x4/4!) + (x6/6!) - ... = - [$8721$]{n=1...[$8734$]} { ((-1)n * x2n) / (2n)! } = [$8721$]{n=1...[$8734$]} { ((-1)n+1 * x2n) / (2n)! }
также при любом действительном х
Следовательно, данный ряд можно почленно интегрировать на любом интервале, входящем в область сходимости ряда, то есть при любом действительном х
Тогда:
[$8747$]0,50 f(x)dx = [$8747$]0,50 [$8721$]{n=1...[$8734$]} { ((-1)n+1 * x2n) / (2n)! } * dx =
= [$8721$]{n=1...[$8734$]} [$8747$]0,50 { ((-1)n+1 * x2n) / (2n)! } * dx =
= [$8721$]{n=1...[$8734$]} { ((-1)n+1 * x2n+1) / [(2n + 1) * (2n)!] } | 0,50 =
= [$8721$]{n=1...[$8734$]} { (-1)n+1 / [22n+1 * (2n + 1) * (2n)!] } = [$8721$]{n=1...[$8734$]} { (-1)n+1 / [23n+1 * (2n + 1) * n!] }
Так как:
|a1| = | (-1)2 / [24 * 3 * 1!] | = 1/48 > 0.001
|a2| = | (-1)3 / [27 * 5 * 2!] | = 1/1280 < 0.001 = 1/1000
то, в качестве приближенного значения интеграла достаточно взять только первый член полученного ряда, то есть:
[$8747$]0,50 f(x)dx ≈ 1/48
с точностью до 0,001