Здравствуйте, Голубева Юлия Александровна!
1) У прямоугольника сумма двух смежных сторон равна половине периметра. Пусть одна сторона будет x см, тогда смежная будет 10 - x см
Тогда площадь S = x * (10 - x) = 10x - x²
Рассмотрим функцию f(x) = 10x - x². И найдем точку ее экстремума.
Приравняем производную к нулю: f'(x) = 10 - 2x = 0. Отсюда x = 5.
Заметим, что мы имеем уравнение параболы, ветви которой направлены вниз (коэффициент у x² < 0),
значит найденная точка экстремума будет точкой максимума.
А тогда, прямоугольник с максимальной площадью - квадрат со стороной 5 см.

2)Аналогично, строим функцию нахождения диагонали.
По теореме Пифагора, L² = x ² + (10 - x)², где L - диагональ.
Заметим, что, если квадрат диагонали - минимальный, то и диагональ тоже будет минимальной, поэтому
будем искать минимум функции f(x) = x ² + (10 - x)² = 2x² - 20x +100
Приравняем производную к нулю: f'(x) = 4x - 20 = 0. Отсюда x = 5.
Заметим, что мы имеем уравнение параболы, ветви которой направлены вверх (коэффициент у x² > 0),
значит найденная точка экстремума будет точкой минимума.
А тогда, прямоугольник с минимальной диагональю - опять квадрат со стороной 5 см.

3)Скорость - это не что иное, как производная от S(t)
Имеем V(t) = S'(t) = 12 + 4t - t². Найдем ее максимум.
Приравняем производную к нулю: V'(t) = 4 - 2t = 0. Отсюда точка экстремума t = 2.
Заметим, что мы имеем уравнение параболы, ветви которой направлены вниз (коэффициент у t² < 0),
значит найденная точка экстремума будет точкой максимума.
Значение скорости в этой точке будет V(2) = 12 + 4*2 - 2² = 16

4)Пусть первое число - x, тогда второе будет 25/x
Будем искать минимум функции f(x) = x + 25/x
Приравняем производную к нулю: f'(x) = 1 - 25/x² = 0. Отсюда x = [$177$]5.
Т.к. нас интересуют только положительные числа, то x = 5
Легко увидеть, что при стремлении x либо к 0, либо к бесконечности, функция стремится к бесконечности,
значит найденная точка - минимум функции, а значит искомые числа 5 и 5, т.е. 25 = 5 * 5

Здравствуйте, Голубева Юлия Александровна!
1) Обозначим стороны прямоугольника a и b соответственно.
Имеем: 2a + 2b = 20, выразим a = 10 - b.
Далее рассмотрим функцию площади:
S = a*b = (10 - b)*b = 10b - b^2
Рассмотрим функцию S(b). Найдем ее экстремумы на промежутке (0; 10), для этого найдем производную:
S'(b) = 10 - 2b
Чтобы найти экстремумы, найдем нули производной, он один: b = 5, проверим на максимум:
S'(4) = 10-8 = 2 > 0 => b = 5 — максимум функции площади => площадь максимальна, если одна сторона равна 5.
Из уравнения a = 10 - b находим вторую сторону равную a = 5.
Ответ: высота=5, ширина=5

2) Обозначим:
a — одна сторона прямоугольника
b — другая сторона
Тогда 2*a + 2*b = 20
Выразим b = 10 - a
Тогда диагональ равна корень(a^2 + b^2) (корень будем рассматривать квадратный)
Удобнее всего рассматривать это число в плоскости (a, b) в виде перпендикуляра, опущенного
из начала координат к графику функции b = 10 - a
Обозначим точку A(0; 0), B(0; 10), C(10; 0)
H — точка, в которую опущен перпендикуляр, то есть минимальное значение выражения: корень(a^2 + b^2)
Рассматривая AB как высоту, а AC как основание, находим площадь треугольника ABC равную 50.
Далее, из уравнения 50 = 0.5 * AH * 10*корень(2) находим AH = 5*корень(2)
Далее необходимо найти координаты точки H(x; y), которые из определения (r*cos(a); r*sin(a)) равны:
Угол наклона перпендикуляра равен 45 из теоремы о сумме углов треугольника.
(5*корень(2) * cos(45); 5*корень(2) * sin(45)) = (5; 5)
Ответ: a=5, b = 5

3) Не понял что у вас там за «домики», опишу ход решения:
Известно, что S'(t) = V(t), то есть вы находите первую производную от функции расстояния, это функция скорости.
Далее, чтобы найти максимальную скорость, вы также находите V'(t), у вас получится что функция монотонно убывает, значит ее максимум в начале промежутка, а дальше догадаетесь, думаю.
Если нет, то напишите пожалуйста уравнение понятнее.

4) Решаем по аналогии с 1.
Пусть a-первое число, b-второе число, тогда имеем систему:
(1) a, b > 0
(2) a*b = 25
Из (2) выразим a = 25/b
Рассмотрим функцию суммы S = a+b = 25/b + b
Чтобы найти минимум этой функции, найдем производную S'(b) = -25/b^2 + 1
Приравняем к нулю чтобы найти экстремумы.
-25/b^2 + 1 = 0
Т. к. b^2=0 не подходит из (1), домножаем на b^2:
(b-5)(b+5) = 0

т. к. b=-5 нам не подходит, проверяем b=5 на «минимальность»:
S'(4) = -1*9 < 0 => b=5 — точка минимума.
=> минимальная сумма равна S(5) = 25/5 + 5 = 10
Найдем a из второго уравнения: a = 5
Ответ: a=5, b=5

Желаю удачи! :)