Здравствуйте, Вуков Андрей Семёнович!
Заранее прошу прощения за отсутствие рисунков (по техническим причинам). В качестве иллюстрацию можно порекомендовать рисунки к подобным/аналогичным задачам из любого (школьного) учебника по стереометрии (10-11 класс, если не ошибаюсь).
1) В данном случае радиус описанной около основания пирамиды окружности равен радиусу основания описанного конуса; высота конуса равна высоте пирамиды.
Радиус вписанной в основание пирамиды окружности R равен половине гипотенузы, которая в свою очередь равна A/cos(L). Итак,
R=A/(2*cos(L))
Высота конуса равна H=R*tg(Y). Для того, чтобы получить это соотношение достаточно рассмотреть треугольник, вершинами которого являются:
-вершина пирамиды,
-основание высоты пирамиды,
-один из углов треугольника - основания пирамиды.
Этот треугольник - прямоугольный, катетами в нем являются высота пирамиды H и радиус R (т.к. основание высоты пирамиды совпадает с центром описанной около основания окружности), а гипотенузой - образующая конуса.
Объем конуса равен
V=(1/3)*pi*(R^2)*H=(1/3)*pi*(R^3)*tg(Y)=(1/3)*pi*(A^3)*tg(Y)/((2*cos(L))^3)=(1/24)*pi*(A^3)*tg(Y)/(cos(L)^3)
Примечание.
В куб возводится не аргумент косинуса, а сам косинус.
2) В треугольной пирамиде, у которой все двугранные углы при основании равны, высота "падает" в точку пересечения биссектрис (треугольника-основания), или
(что то же самое) в центр вписанной (в основание) окружности. Отсюда
D*sin(alpha/2)=r, где
alpha - угол, расстояние от которого до основания высоты пирамиды равно D
r - радиус вписанной в основание пирамиды окружности
Половина угла берется потому, что биссектриса делит любой угол точно пополам.
Но alpha=pi-L-B, т.к. сумма углов треугольника равна pi. В градусной мере, соответственно, alpha=180-L-B.
Итак, получаем, что
r=D*sin(alpha/2)=D*sin((pi-L-B)/2)=D*sin(pi/2-(L+B)/2)=D*cos((L+B)/2)
То же самое в градусной мере
r=D*sin(alpha/2)=D*sin((180-L-B)/2)=D*sin(180/2-(L+B)/2)=D*sin(90-(L+B)/2)=D*cos((L+B)/2)
Образующая конуса равна
a=r/cos(Y)
Чтобы получить данное соотношение достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник, одним из катетов которого является высота пирамиды, а другим - радиус вписанной в основание окружности, проведенный перпендикулярно некоторой стороне основания; гипотенузой в таком треугольнике является образующая вписанногов пирамиду конуса. При этом необходимо использовать т.н. теорему о трех перпендикулярах. Получаем, что двугранный угол Y равен углу в таком прямоугольном треугольнике, откуда уже со всей очевидностью следует представленное выше соотношение.
Площадь боковой поверхности конуса равна
S=pi*a*r=pi*(r^2)/cos(Y)=pi*(D^2)*(cos((L+B)/2)^2)/cos(Y)
Примечание 1.
В квадрат возводится, разумеется, не аргумент косинуса, а сам косинус.
Примечание 2.
Подразумевается, что высота вписанного в пирамиду конуса равна высоте пирамиды, радиус основания - радиусу вписанной в основание окружности. Данный факт
достаточно очевиден и легко показывается (для треугольных пирамид такого типа, у которых все двугранные углы при основании одинаковы).