Здравствуйте, Alex Bond!
1) z = 4 - 4i.
Изображением данного числа будет точка на плоскости, имеющая координаты (4;-4).

z с чертой - это сопряжённое к z. Если z = x + yi, то сопряжённое к z равно x - yi. Значит,
z с чертой = 4 + 4i.

1/z = 1/(4-4i) = {умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю} = (4+4i)/((4-4i)(4+4i)) = (4+4i)/(16-16i²) = {учитываем, что i² = -1} = (4+4i)/(32) = 1/8 + i/8.

Если z = x + yi, то |z| = √(x²+y²). Значит,
|z| = |4-4i| = √(4²+(-4)²) = √32 = 4√2.

z² = (4-4i)(4-4i) = 16 - 16i - 16i + 16i² = -32i.

Найдём arg(z) = φ. Если z = x + yi, то φ является наименьшим положительным корнем системы уравнений
cosφ = x/|z|,
sinφ = y/|z|.
Значит, решим систему
cosφ = 4/(4√2) = 1/√2,
sinφ = -4/(4√2) = -1/√2.
Наименьший положительный корень: φ = 7π/4.
arg(z) = 7π/4.

Тригонометрическая форма комплексного числа вычисляется по следующей формуле:
z = |z| * (cosφ + i*sinφ),
где φ = arg(z).
Следовательно,
4 - 4i = 4√2 * (cos(7π/4) + i*sin(7π/4)).

<font color=blue><b>!!!</b></font>
Здравствуйте, Alex Bond!

2)Найдите все значения корня. Изобразить полученные значения на комплексной плоскости.
Если 3 коорня из 8i
Если возможно то поподробнее.

Я так понял, что имеется в виду кубический корень из 8i, т.е. решение уравнения x³ = 8i.
Используем <font color=blue><s>тригонометрическое</s> показательное</font> представление x = Aexp(iφ).
Тогда x³ = A³ exp(i3φ) = 8i = 2³ e(i(π/2+2πn)).
Откуда A = 2 и φ = π/6 + (2π/3)n.
Уникальных решений 3:
2 exp(iπ/6) = 2 cos(π/6) + 2 i sin(π/6) = √3 + i
2 exp(5iπ/6) = 2 cos(5π/6) + 2 i sin(5π/6) = -√3 + i
2 exp(3iπ/2) = 2 cos(3π/2) + 2 i sin(3π/2) = -2i
<p><fieldset style=‘background-color:#EFEFEF; width:80%; border:blue 1px solid; padding:10px;‘ class=fieldset><font color=blue><i></i>
-----
</font><font color=#777777 size=1><b>• Отредактировал: <a href=/info/user/118729 target=_blank>Агапов Марсель</a></b> (Специалист)
<b>• Дата редактирования:</b> 24.11.2007, 10:32</font></fieldset>