Здравствуйте, sergesus!
Пусть координаты т. М(0,0,0), А(0,2,4), B(-1,1,0), C(-2,0,1) => вектора MA = a(0,2,4), MB = b(-1,1,0), MC = c(-2,0,1).
1) объём параллелепипеда
Если параллелепипед построен на приведенных к общему началу векторах a,b,c, то объем параллелепипеда определяется смешанным произведением этих векторов.
| x_{<SMALL>1</SMALL>} y_{<SMALL>1</SMALL>} z_{<SMALL>1</SMALL>} |
| x_{<SMALL>2</SMALL>} y_{<SMALL>2</SMALL>} z_{<SMALL>2</SMALL>} |
| x_{<SMALL>3</SMALL>} y_{<SMALL>3</SMALL>} z_{<SMALL>3</SMALL>} | =
| 0 2 4 |
| -1 1 0 |
| -2 0 1 | = 10

2) объём пирамиды = 1/6 от смешанного произведения векторов = 5/3

3) площадь основания (ABC) пирамиды = ½ произведения длин двух векторов, образующих основание, на синус угла между ними. Cosφ = скалярному произведению векторов, деленному на их длины. Вектора, образующие основание пирамиды: AB(-1,-1,-4), AC(-2,-2,-3) => cosφ = 16/(3√2*√17) => sinφ = √50/(3√2*√17)
Площадь основания = ½3√2*√17*√50/(3√2*√17) = √50/2

4) Записать параметрическое уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины М.
Плоскость основания, проходящая через точки A,B,C, определяется приравниванием к нулю определителя
| x y z 1 |
| x_{<SMALL>0</SMALL>} y_{<SMALL>0</SMALL>} z_{<SMALL>0</SMALL>} 1 |
| x_{<SMALL>1</SMALL>} y_{<SMALL>1</SMALL>} z_{<SMALL>1</SMALL>} 1 |
| x_{<SMALL>2</SMALL>} y_{<SMALL>2</SMALL>} z_{<SMALL>2</SMALL>} 1 | =
| x y z 1 |
| 0 2 4 1 |
| -1 1 0 1 |
| -2 0 1 1 | = x - y + 2 = 0

Уравнения прямой, проходящей через точку М(0,0,0), перпендикулярно к плоскости x - y + 2 = 0, в координатах выражаются
x = x_{<SMALL>0</SMALL>} + At,
y = y_{<SMALL>0</SMALL>} + Bt,
z = z_{<SMALL>0</SMALL>} + Ct.
x = t,
y = -t,
z = 0.

5) точку пересечения высоты пирамиды с основанием(координаты) - определяется пересечением прямой, найденной в пункте 4, с плоскостью основания x - y + 2 = 0 = t + t + 2 = 2t+2 => t = -1 => координаты точки (-1,1,0)

6) Двугранный угол между гранями МАС и основанием пирамиды.
Он равен углу между нормалями к этим граням. Плоскость, проходящая через точки М, А, С, определяется детерминантом
| x y z 1 |
| 0 0 0 1 |
| 0 2 4 1 |
| -2 0 1 1 | = x - 4y + 2z = 0, нормаль к этой плоскости (1,-4,2), нормаль к основанию (1,-1,0) => Cosψ = 5/(√21*√2) = 5/√42

7) Координаты центра и радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
Центр лежит на пересечении нормалей к серединам сторон. А(0,2,4), B(-1,1,0), C(-2,0,1), AB(-1,-1,-4), AC(-2,-2,-3), BC(-1,-1,1), пусть т. D - середина стороны AB, тогда MD = MA+½AB = (0-1/2,2-1/2,4-2) = (-1/2,3/2,2). Т.к. М(0,0,0)=>координаты D(-1/2,3/2,2)
пусть т.K - середина стороны AC => координаты К(0-1,2-1,4-3/2) = (-1,1,5/2)
пусть т. L - середина стороны BC => координаты L(-1-1/2,1-1/2,0+1/2) = (-3/2,1/2,1/2)
Если координаты центра О(x,y,z) => OK(-1-x,1-y,5/2-z), OK перпендикулярен АС => (-1-x)(-2)+(1-y)(-2)+(5/2-z)(-3) = 2x+2y+3z-15/2 = 0
OL(-3/2-x,1/2-y,1/2-z) перпендикулярен к ВС => (-3/2-x)(-1)+(1/2-y)(-1)+1/2-z = x+y-z+3/2 = 0
OD (-1/2-x,3/2-y,2-z) перпендикулярен к AВ => (-1/2-x)(-1)+(3/2-y)(-1)+(2-z)(-4) = x+y+4z-9 = 0
=> z=21/10, x+y=3/5
Далее, т.О лежит в плоскости АВС => x - y + 2 = 0 => x=-7/10, y=13/10
Итак, координаты т.О (-7/10, 13/10, 21/10)
Один из способов нахождения радиуса r вписанной в треугольник окружности: r= S/p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр. S = √50/2,
|AB| = √18, |AC| = √17, |BC| = √3 => p=(√18+√17+√3)/2 =>
r=√50/=(√18+√17+√3)

8) Координаты центра и радиус окружности, описанной около треугольника АВС. А(0,2,4), B(-1,1,0), C(-2,0,1), AB(-1,-1,-4), AC(-2,-2,-3), BC(-1,-1,1).
Центр лежит в плоскости АВС на пересечении биссектрисс треугольника АВС.
Если координаты т. Q(x,y,z) => x - y + 2 = 0.
QA(-x,2-y,4-z), QB(-1-x,1-y,-z), QC(-2-x,-y,1-z)
биссекрисы делят углы пополам => косинусы этих углов равны => QA*AB/|AB| = QA*AC/|AC| => [(-x)(-1)+(2-y)(-1)+(4-z)(-4)]/√18 = [(-x)(-2)+(2-y)(-2)+(4-z)(-3)]/√17 =>(x+y+4z-18)/√18 = (2x+2y+3z-16)/√17
Рассмотрим угол В и составим для него то же соотношение QB*BA/|AB| = QB*BC/|BC| => [-1-x + 1-y - 4z]/√18 = [(-1-x)(-1)+(1-y)(-1)+(-z)]/√3 => [-x-y-4z]/√6 = [x+y-z]
Из этих уравнений находим, что y=(3-2√6)x/5, z=(-2-2√6)x/5
x = [8√18 - 9√17]/(√18 - √108 + √102)

R - радиус описанной окружности = |a|*|b|*|c|/4S = (2√18*√17*√3)/√50 = 6√51/√5