Здравствуйте, Ласточка!

Уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить 4 задачи:
1. Написать уравнение касательных к окружности
x² + y² - 8x - 4y + 16 = 0, проведённых из начала координат

x² + y² - 8x - 4y + 16 = x² - 8x + 16 + y² - 4y + 4 - 4 = (x - 4)² + (y - 2)² - 4 = 0
(x - 4)² + (y - 2)² = 2²
Вектор к точке касания (x, y) должен быть перпендикулярен радиусу от точки касания к центру окружности (4, 2), т.е. ветору (x - 4, y - 2).
Вектора перпендикулярны, когда их скалярное произведение равно 0: x(x - 4) + y(y - 2) = 0.
Имеем систему уравнений:
x² + y² - 8x - 4y + 16 = 0
x² - 4x + y² - 2y = 0
Вычитаем из второго первое: 4x + 2y = 16 => y = 8 - 2x
Подставляем во второе: x² + (8 - 2x)² = 4x + 2y = 16
5x² - 32x + 48 = 0
x = (16 ± 4)/5 = {12/5, 4}
y = 8 - 2x = {16/5, 0}
Уравнения касательных y/(16/5) = x/(12/5) => y = (4/3)x и y = 0.

2. Написать уравнение окружности, проходящей через начало координат и через точки пересечения прямой x + y + a = 0 с
окружностью x² + y² = а²

Точки пересечения находим решением системы:
x + y + a = 0
x² + y² = а²
Подставим y = -(x + a) во второе: 2x² + 2ax + a² = а² => 2x(a + x) = 0 => x = {0,-a} и y = -(x + a) = {-a, 0}
Получаем равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого центр описанной окружности находится на середине гипотенузы: (-a/2, -a/2) и радиус равен раастоянию от начала координат до этой точки a/√2.
Тогда уравнение окружности (x + a/2)² + (y + a/2)² = a²/2.

3. Написать уравнение окружности, проходящей через точки А(-1;3), В(0;2) и С(1;-1)

Центр окружности равноудалён от всех точек:
(x + 1)² + (y - 3)² = x² + (y - 2)² = (x - 1)² + (y + 1)²
2x - 6y + 10 = -4y + 4 = -2x + 2y + 2
2x - 2y + 6 = 0 = -2x + 6y - 2
Сложив крайние выражения 4y + 4 = 0 => y = -1, x = y - 3 = -4.
Центр окружности располагается в (-4, -1). До точки С вектор (5, 0) длины 5 - нашли радиус окружности.
Уравнение окружности с центром в (-4, -1) и радиуса 5: (x + 4)² + (y + 1)² = 5²

4. Написать уравнение траектории точки М(x;y), которая при своём движении остаётся вдвое ближе к точке А(0;-1), чем к точке В(0;4).
Построить траектории движения.

4(x² + (y + 1)²) = x² + (y - 4)²
3x² + 3y² + 16y - 12 = 0
x² + y² + (16/3)y - 4 = 0
x² + (y + 8/3)² = (8/3)² + 4 = (10/3)².
Это уравнение окружности с центром в (0, -8/3) и радиуса 10/3

Заранее огромное спасибо! Swallow.