Здравствуйте, Tribak!

Найти многочлен наименьшей степени с целыми коэффициентами, корнем которого является число a=3^1/3+2^1/3

Задачка интересная. У меня есть решение основанное на представлении величин (3^1/3+2^1/3)ⁿ через базис (1, 2^1/3, 4^1/3, 3^1/3, 6^1/3, 12^1/3, 9^1/3, 18^1/3, 36^1/3)
Я исходил из предположения, что эти величины нельзя представить как комбинацию других с целочисленными коэффициентами.
Я точно не уверен, но по-моему это доказывается при изучении расширений полей в теории Галуа.
После этого остаётся чистая рутина.
Составляем матрицу, где столбцами служат раздожения (3^1/3+2^1/3)^n-1 по упомянутому базису.
При добавлении каждого столбца можно проверять ранг матрицы, но он у меня всегда получался равным количеству столюцов.
Т.о. мы строим матрицу 9x9:
1 0 0 5 0 0 133 0 0
0 1 0 0 14 0 0 277 0
0 0 1 0 0 32 0 0 592
0 1 0 0 11 0 0 247 0
0 0 2 0 0 25 0 0 524
0 0 0 3 0 0 57 0 0
0 0 1 0 0 23 0 0 457
0 0 0 3 0 0 48 0 0
0 0 0 0 6 0 0 105 0
Её ранг - 9, т.е. все столбцы линейно независимы и мы не можем построить полоином с целочисленными коэффициентами степени 8 или ниже.
(3^1/3+2^1/3)⁹ = 2555 + 1116*12^1/3 + 981*18^1/3, т.е. представляет из себя вектор
2555
0
0
0
0
1116
0
981
0
Решив систему уравнений A.x = b, где A - упомянутая выше матрица, а b - разложение (3^1/3+2^1/3)⁹, получим x:
125
0
0
87
0
0
15
0
0
Т.е. (3^1/3+2^1/3)⁹ = 125 + 87(3^1/3+2^1/3)³ + 15(3^1/3+2^1/3)⁶
Т.о. уравнение x⁹ = 125 + 87x³ + 15x⁶, которое нашёл Марсель.

Дайте знать, если что-то непонятно.