Здравствуйте, piit!
а нужно обязательно формулу? если на пары разбивать?
например
1/6+2/9=1/2-1/3+1/3-1/9
3/14+4/21=1/2-2/7+2/7-2/21

Здравствуйте, piit!

Рассмотрим каждую последовательность.
1)
a₁ = 6 = 1² + 5
a₂ = 9 = 2² + 5
a₃ = 14 = 3² + 5
a₄ = 21 = 4² + 5
a₅ = 30 = 5² + 5

Очевидно, что
<font color=purple>a_n = n² + 5</font>

2) Судя по всему в вопросе Вы сделали опечатку и последий член должен быть 5/30, а не 5/21...

Тогда по аналогии с первым ряом получаем:
<font color=purple>a_n = n/(n² + 5)</font>

Good Luck!!!

Здравствуйте, piit!
Общего алгоритма решения не существует, но можно перебирать разные частные случаи и проверять, подходят ли они. Например, не выражается ли разность(или частное) членов последовательности (или числителей, или знаменателей, или каждого второго члена последовательности и пр) через арифметические/геометрические функции - тогда можно подобрать формулы.

Второй метод: можно сразу предположить, что n-й член последовательности выражается формулой полинома. Как правило, не требуется степень выше третьей. Аn = an³ + bn² + cn + d (или даже второй: Аn = bn² + cn + d ) с пока неизвестными коэффициентами, подставить в эту формулу известные первые члены, определить коэффициенты, а затем попытаться доказать с помощью матиндукции, что формула верна.
Например, в нашем случае, попробуем выразить с помощью формулы знаменатель
пусть Аn = bn² + cn + d
n=1 => A1 = 6 = b+c+d
n=2 => A2 = 9 = 4b+2c+d
n=3 => A3 = 14 = 9b+3c+d
Этого уже достаточно, чтобы найти коэффициенты b=1, c=0, d=5 => An = n² + 5
Проверим. A4 = 16+5 = 21. A5 = 30 - с очевидностью выполняется.

Здравствуйте, piit!

Общего алгоритма не существует и не надейтесь: люди изобратетельны и могут придумать абсолютно разные последовательности.
Можете посмотреть <a href="http://www.research.att.com/~njas/sequences/">The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences</a>.
Существуют общие формулы, которые позволяют найти многочлен степени n-1, который проходит через n точек (x_i, y_i).
Например, <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial">Lagrange Polynomial</a>.
Этот многочлен - сумма n дробей в знаменателе которых стоит y_i(x-x₁)(x-x₂)...(x-x_i-1)(x-x_i+1)...(x-x_n),
а в знаменателе (x_i-x₁)(x_i-x₂)...(x_i-x_i-1)(x_i-x_i+1)...(x_i-x_n).
Если Вы попробуете подставить числа x = x_i в такую сумму, то вы увидите, что все дроби, кроме одной превратятся в 0, так как у них есть (x - x_i).
А дробь, у которой нет этого множителя в числителе, равна y_i.
Если Вы посмотрите ссылки на этой странице там есть и другие формы интерполяционных полиномов.
Эти формулы дают возможность написать полином, но он будет чрезвычайно сложным.
В Вашем случае это будет 5 дробей с 4 скобками в каждом числителе и знаменателе.
В Вашем случае есть более прямолинейный подход, основанный на <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_polynomial">Newton polynomial</a>.
Начинайте считать разницы между последовательными числами.
У Вас это будет 3 5 7 9.
Считайте разности между ними:
2 2 2
Как только Вы увидели ряд с постоянными коэффициентами - это значит, что вы нашли степень Вашего полинома. В нашем случае - 2.
Т.е. Вам надо начать искать выражение в виде an²+bn+c.
На самом деле ссылка <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_polynomial">Newton polynomial</a> указывает как напрямую посчитать a, b и с из Ваших данных.
Я особо никогда не вникал, но знаю, что для получения коэффициента при старшем члене надо разделить ту константу, что мы получили (2) на факториал степени (2! в нашем случае).
Т.е. наш многочлен имеет вид n²+bn+c.
Если Вы увидели, что ряда с постоянными кофээфифциентами нет, а каждая разность - масштабированный вариант предыдущей строки:
1 3 9 27 81
2 6 18 54 = 2*(1 3 9 27)
то это явный признак, что у Вас геометрическая последовательность.

Но это всё общие правила. Чтобы быстро находить закономерности нужна практика.
В Вашем случае я стал считать разности и увидел 1, 3, 5, 7, 9, ...
Известно, что сумма последовательных нечетных чисел от 1 до 2n-1 равна n².
В Вашем случае 1 выброшен, т.е. формула будет a_n = a₁ + n² - 1.

Тот факт, что сумма последовательных нечетных чисел от 1 до 2n-1 равна n² легко доказывается, если заменить
каждое нечётное число 2k-1 в сумме на </span>k²-(k-1)².