Здравствуйте, Tribak!

Здравствуйте эксперты, расскожите пожалуйста что такое интегрирование и диференицирование ряда, как за счет них найти сумму ряда на примере 2ух заданий:
1) (1+(-1)^(n-1))/(2n+1) *x(2n+1)
2) (2n^2 +8n+5)*x^n
в обоих случаях сумма от нуля до бессконичности

1). Продифференцируем сумму. Поскольку производная суммы равна сумме производных, то мы просто можем найти производную каждого члена и сложить.
После того, как мы получили явное выражение для производной суммы, мы можем проинтегрировав его получить значение для первоначальной суммы.

Дифференцируем нашу сумму S‘ = ∑((1+(-1)^n-1)*x²ⁿ)=∑x^4k=1/(1-x⁴)
Теперь находим S = ∫S‘dx = ∫1/(1-x⁴)dx = (1/2)arctg(x) + (1/4)*ln((1+x)/(1-x)) + C
Подстановка x = 0 показывает, что C = 0
Итого, ∑[(1+(-1)^n-1)/(2n+1)*x²ⁿ⁺¹] =(1/2)arctg(x) + (1/4)*ln((1+x)/(1-x))

2). Наоборот, сначала интегрируем, а результат дифференцируем.
Предварительно разобьём нашу сумму на 3 суммы, которые будем считать по отдельности:
S = ∑[(2n² +8n+5)*xⁿ]=2∑[(n²+3n+2)*xⁿ] + 2∑[(n+1)*xⁿ] - ∑xⁿ
Критерий таков, что при одиночном инетгрировании xⁿ мы получим xⁿ⁺¹/(n+1), а при двойном - xⁿ⁺²/(n²+3n+2)
Таким образом, после двойного интегрирования по x сумма S₁ = ∑[(n²+3n+2)*xⁿ] превращается в ∑xⁿ⁺² = x²/(1+x)
и при двойном дифференцировании этого выражения получим S₁ = 2/(1 - x) + 4x/(1 - x)² + 2x²/(1 - x)³.
После одинарного дифференцирования по x сумма S₂ = ∑[(n+1)*xⁿ] превращается в ∑xⁿ⁺¹ = x/(1+x) и после обратного дифференцирования получим S₂ = 1/(1 - x) + x/(1 - x)².
Сумма S₃ = ∑xⁿ = 1/(1 - x).
Итого, S = 2S₁ + 2S₂ - S₃ = 4/(1 - x) + 8x/(1 - x)² + 4x²/(1 - x)³ + 2/(1 - x) + 2x/(1 - x)² - 1/(1-x) = 5/(1 - x) + 10x/(1 - x)² + 4x²/(1 - x)³

Я надеюсь, что Вы не будете тупо копировать моё решение, но проверите каждый шаг.