Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 109947
18.11.2007, 09:36
0.00 руб.
0 3 3
Образование
Здравствуйте, уважаемые эксперты.
Небольшие задачки по «Алгебре и геометрии».

1) Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А1, А2, А3, А4 и его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3.
А1(1, -1, 1), А2(-2, 0, 3), А3(2, 1, -1), А4(2, -2, -4).

2) Вычислить определитель.
∆ = I 1, 1, 1, 1 I
I 1, 1, -1, 1 I
I 1, -1, 1, 1 I
I 1, -1, -1, 1 I

3) Найти Х.
(5, 1, -5) (-8, -5, -2)
X * (3, -3, 2) = (3, 9 , 15)
(1, -2, 1) (0, 0, 0)

Очень большое спасибо заранее.

Обсуждение

Неизвестный
18.11.2007, 11:03
общий
это ответ
Здравствуйте, Аксенов Антон!
2)
Можно сразу, не производя никаких вычислений, увидеть, что определитель равен нулю: в данной матрице первый и четвёртый столбцы одинаковые.
Ответ: Δ = 0.
Неизвестный
18.11.2007, 14:09
общий
это ответ
Здравствуйте, Аксенов Антон!
1) Плоскость, проходящая через точки А1А2А3
| x y z 1 |
| x<sub><SMALL>0</SMALL></sub> y<sub><SMALL>0</SMALL></sub> z<sub><SMALL>0</SMALL></sub> 1 |
| x<sub><SMALL>1</SMALL></sub> y<sub><SMALL>1</SMALL></sub> z<sub><SMALL>1</SMALL></sub> 1 |
| x<sub><SMALL>2</SMALL></sub> y<sub><SMALL>2</SMALL></sub> z<sub><SMALL>2</SMALL></sub> 1 | =
| x y z 1 |
|1 -1 1 1 |
|-2 0 3 1 |
|2 1 -1 1 | = 0 => уравнение плоскости 6x + 4y + 7z - 9 - 0
Расстояние от точки А4 до этой плоскости d = |Ax<sub><SMALL>0</SMALL></sub>+By<sub><SMALL>0</SMALL></sub>+Cz<sub><SMALL>0</SMALL></sub>+D|/√(A²+B²+C²) = |6*2 - 4*2 - 7*4 - 9|/√101 = 33/√101
Объем тетраэдра = 1/6 смешанного произведения векторов, исходящих из вершины.
A4A1(-1,1,5), A3A1(1,2,-2), A2A1(-3,1,2)
|-1 1 5|
|1 2 -2|
|-3 1 2| = 33 => Объем тетраэдра = 33/6 = 11/2
Неизвестный
19.11.2007, 07:44
общий
это ответ
<font color=red><b>!!!</b></font>
Здравствуйте, Аксенов Антон!

3) Найти Х.
(5, 1, -5) (-8, -5, -2)
X * (3, -3, 2) = (3, 9 , 15)
(1, -2, 1) (0, 0, 0)

Запишем в матричном виде: X A=B
Домножим справа на A<sup>-1</sup>. Получим X A A<sup>-1</sup> = B A<sup>-1</sup>.
Используем ассоциативный закон: X A A<sup>-1</sup> = X (A A<sup>-1</sup>) = X.
Т.о. X = B A<sup>-1</sup>.

Как найти A<sup>-1</sup>: для каждой позиции i (номер строки), j (номер столбца) вычёркиваем строку i и столбец j.
Считаем детерминант получившейся матрицы. Умножаем на -1, если сумма i+j нечётна.
Прописываем получившееся число в позицию i,j в новой матрице.
Считаем детерминант матрицы A и делим на него каждое число в новой матрице.
Результат:<pre>
{ 1/19 9/19 -13/19)
A<sup>-1</sup>=(-1/19 10/19 -25/19)
(-3/19 11/19 -18/19)

<font color=red><s>{ 7/19 44/19 -15/19)</s> (3/19, -144/19, 265/19)</font>
X = B A<sup>-1</sup>=(-51/19 282/19 -534/19)
( 0 0 0)
</pre>
<p><fieldset style=‘background-color:#EFEFEF; width:80%; border:red 1px solid; padding:10px;‘ class=fieldset><font color=red><i></i>
-----
</font><font color=#777777 size=1><b>• Отредактировал: <a href=/info/user/118729 target=_blank>Агапов Марсель</a></b> (Специалист)
<b>• Дата редактирования:</b> 21.11.2007, 00:04</font></fieldset>
Форма ответа