Здравствуйте, Логинов. Александр, Александрович!
1) АВ=√((-3-2)^2+(-1+3)^2+(5-7)^2)= √33
AC=√(49+9+36)= √94
BC=√144++1+16)= √161
S=1/4 * √(√33+√94+√161)(√33+√94-√161)(√161+√33-√94)(√161+√94-√33)=
=1/4 * √(33+94-161+2√3102)(161-33-94+2√3102)= 1/4 * √(4*3102-1156)=1/2√2813

Здравствуйте, Логинов. Александр, Александрович!
1. Площадь треугольника можно подсчитать по формуле
S = корень(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p - полупериметр, a,b,c - стороны треугольника.
Покажу как найти одну сторону
c = AB = корень((Xb-Xa)^2+(Yb-Ya)^2 + (Zb-Za)^2) = корень((-3-2)^2 + (-1-(-3))^2 + (5-7)^2)=корень(25+4+4) = корень(33).
дальше, пожалуйста, самостоятельно
2. Объем треугольной пирамиды - это шестая часть модуля смешанного произведения веторов, а смешанное произведение векторов равен определителю, составленному из их координат, то есть
V = 1/6 * |определитель|
Определитель находится
4 -1 0
3 1 -5 =
7 3 -4
=-16+0+35-12+60=67
объем V=67/6

Здравствуйте, Логинов. Александр, Александрович!
2) Пирамида натянута на вектора a(4, -1, 0) b(3, 1, -5) c(7, 3, -4)
т.е. вершинами пирамиды являются точки с координатами О(0, 0, 0), A(4, -1, 0, B(3, 1, -5), C(7, 3, -4).
Для того, чтобы вычислить объем пирамиды, найдем площадь ΔОАВ. Сначала найдем угол между векторами а и b. cosφ = a*b/(|a|*|b|) = 11/(√17*√35) => sinφ = 1 - cos²φ = √6*√79/(√17*√35)
Площадь треугольника, натянутого на два вектора, равна половине произведения длин векторов на синус угла между ними => SΔОАВ = ½|a|*|b|*sinφ = ½√17*√35*√6*√79/(√17*√35) = √6*√79/2
теперь найдем высоту CD, опущенную из точки С на плоскость OAB
Эта плоскость описывается уравнением 5x+20y+7z=0, значит, расстояние от точки С до этой плоскости = |Ax_{<SMALL>0</SMALL>}+By_{<SMALL>0</SMALL>}+Cz_{<SMALL>0</SMALL>}+D|/√(A²+B²+C²) = |5*7+20*3+7(-4)|/√(25+400+49) = 67/(√6*√79)
Объем пирамиды = 1/3 произведения площади основания на высоту = 67√6*√79/(6√6*√79) = 67/6
Ответ: объем пирамиды = 67/6

Здравствуйте, Логинов. Александр, Александрович!

1)Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2;-3;7), В(-3;-1;5) и С(9;0;1).

Находим вектора AB = (-5;2;-2) и AC = (7;3;-6).
Находим их векторное произведение, как детерминант матрицы
<code>
( i j k)
(-5 2 -2) = - 6i - 44j - 29k
( 7 3 -6)
</code>
Площадь треугольника - половина длины этого вектора: S = 1/2*√(6² + 44² + 29²) = 1/2√2813

2)Найти объём треугольной пирамиды, построенной на векторах: a=4i-j; b=3i+j-5k; c=7i+3j-4k.

А это сделайте как написал Зиновьев Дмитрий Владимирович.