Здравствуйте, Ezhik!

5. Сколькими способами мама может разделить между тремя детьми 6 яблок, 2 апельсина, 2 груши и 2 банана?

Рассмотрим сначала только яблоки.
Разложим 6 яблок в ряд. Добавим ещё 2 яблока до 8 яблок. Мама выбирает себе 2.
Всё, что слева от выбранных мамой яблок, достаётся старшему ребёнку; всё, что между мамиными яблоками - среднему; всё, что справа от маминых - младшему.
Легко видеть, что любое распределение яблок между детьми соответствует один-в-один какому-то выбору 2-х яблок мамой.
Таким образом, количество распределений 6 яблок между 3 детьми равно количеству выборов 2 яблок из 8: C₈².

Аналогично, для 2 предметов число распределений C₄².

Так как деление каждого типа фруктов независимо, то общее число вариантов:
C₈²*C₄²*C₄²*C₄² = 28*6*6*6

6. Комисия из 30 человек голосует по 5 предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует только за одно
предложение и учитывается лишь количество голосов, поданных за каждое предложение?

Аналогично предыдущей задаче, только делим не на 3, а на 5 групп.
Добавляем 4 человек до 34.
Присваиваем всем персональные номера.
Объявляем 4 человек наблюдателями на выборах, лишая их права голоса.
Пусть их номера в порядке возрастания n1, n2, n3, n4.
Все голосующие с номерами < n1 должны голосовать за 1 предложение.
Все голосующие с номерами от n1 до n2 должны голосовать за 2 предложение и т.д.
Легко видеть, что любое распределение голосов можно представить в таком виде и то, что каждый набор номеров n1, n2, n3, n4 даёт уникальное распределение голосов.
Таким образом, количество способов разделения голосов равно количеству способов выбора 4 чисел из 34: C₃₄⁴ = 34!/(30!4!) = 34*33*32*31/4!

7. В команде 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать 4 человека для участия:
a) в забеге на 1000 м;
б) в эстафете 100м+200м+300м+400м?

a) количество наборов из 30 по 4: C₃₀⁴ = 30!/(26!4!) = 30*29*28*27/4!
б) количество упорядоченных наборов: P₃₀⁴ = 30!/26! = 30*29*28*27

Что-то эта задача подозрительно намного проще 5 и 6.