Здравствуйте, Ezhik!
1.
Обозначим: A – множество учеников, сдавших норматив по бегу, B – по плаванию, C – по прыжкам. Тогда
|A| = 18, |B| = 16, |C| = 18, |A∩B| = 13, |B∩C| = 14, |A∩C| = 15.
Пусть всего в секции x учеников. Будем предполагать, что, кроме заболевших, все остальные сдали хотя бы один норматив. Т.к. в сдаче нормативов участвовали (x-2) учеников, то
|A∪B∪C| = x-2.
Все три норматива сдали x/2 учеников, т.е.
|A∩B∩C| = x/2.
Воспользуемся формулой включений и исключений для трёх множеств:
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - (|A∩B| + |A∩C| + |B∩C|) + |A∩B∩C|,
x-2 = 18 + 16 + 18 – (13 + 14 + 15) + x/2,
x-2 = 10 + x/2,
x = 24.

Ответ: в секции 24 ученика.

Здравствуйте, Ezhik!

2. На приведенных диаграммах Эйлера-Венна продемонстрировать законы теории множеств. Доказать аналитическим путем справедливость предложенных выражений.
A∆(B∆C)=(A∆B)∆C (рис.7)

Рассмотрим какой-то элемент A∆(B∆C).
Согласно определению пересечения этот элемент принадлежит A и одновременно принадлежит B∆C, т.е., повторно используя определение, принадлежит B и C.
Раз элемент принадлежит A и B, то этот элемент принадлежит A∆B, а раз он принадлежит и C, то он принадлежит (A∆B)∆C.
Таким образом, всякий элемент A∆(B∆C) является эелементом (A∆B)∆C, т.е. (A∆B)∆C является подмножеством (A∆B)∆C.
Аналогично доказывается, что (A∆B)∆C является подмножеством (A∆B)∆C, т.е. множества равны.