Здравствуйте, Добрынин Арнольд Валентинович!
∫x*e^(√x) dx = |x=t^2, dx=2tdt|=∫t^2 * e^t* 2tdt=2∫t^3 * e^t dt=...=
=2·^t·(t^3 - 3·t^2 + 6·t - 6)+C=2·^√x·(x^(3/2) - 3·x + 6·√x - 6)+C
...-здесь интегирование по частям (3 раза)

Здравствуйте, добрынин арнольд валентинович!

Все достаточно просто, если изначально сделать замену:
t = √x; x = t²; dx = 2tdt

∫x*e^√x dx = 2∫t³*e^t dt = {используем интегрирование по частям} = [u = t³; du = 3t²dt; dv = e^t dt; v = e^t] = 2t³e^t - 6∫t²*e^t dt =
= [второй раз используем интегрирование по частям u = t²; du = 2tdt; dv = e^t dt; v = e^t] = 2t³e^t - 6t²e^t + 12∫t*e^t dt =
= [третий раз используем интегрирование по частям u = t; du = dt; dv = e^t dt; v = e^t] = 2t³e^t - 6t²e^t + 12t*e^t - 12e^t + С =
= 2e^t (t³ - 3t² + 6t - 6) + С

Теперь делаем обратную замену:
∫x*e^√x dx = 2e^√x ((√x)³ - 3(√x)² + 6√x - 6) + С

Good Luck!!!