Здравствуйте, Volosach Aleksandr Sergeevich!

Для решения задачи нужно просто вычислить интеграл

интеграл{от 0 до L}(rgxП(R^2)/2)dx. где r-плотность воды, П-пи

Он равен (L^2)rgП(R^2)/4

Здравствуйте, Volosach Aleksandr Sergeevich!
Раз надо «найти работу», то это отчасти физическая задача, поэтому я осмеливаюсь взяться за её решение. Очевидно, нужно представить себе, что это самое «корыто, имеющее форму полуцилиндра», лежит на горизонтальной плоскости, т.е. ось цилиндра, половиной которого является «полуцилиндр», горизонтальна. Я столь подробно объясняю это потому, что в ответе, который дал Toper, интегрирование производится так, как будто сила тяжести действует в направлении длины L, т.е. «корыто» поставлено «на попа». Мало вероятно, что это соответствует условию задачи, не только потому, что в реальности трудно себе такое представить, но и потому, что в этом случае с математической точки зрения задача становится чересчур примитивной.
Таким образом, правильный подход состоит в принятии двух оговорок: а) ось цилиндра горизонтальна; б) для «выкачивания» воды необходимо и достаточно всю воду поднять до уровня края «корыта».
Допустим, что на какой-то стадии откачки расстояние по вертикали от текущего уровня воды до уровня края «корыта» равно h. Вес dW элементарного слоя воды толщиною dh равен: dW = Г*g*L*b*dh (1), где Г (имеется в виду греческая «гамма» = 1000 кГ/м^3 - плотность воды, g = 9.807 м/с^2 - напряжённость гравитационного поля Земли (надеюсь, к такому определению не придерутся), b - ширина «корыта» на расстоянии h от края. По теореме Пифагора (b/2) ^2 + h^2 = R^2, или b = 2*SQRT(R^2 - h^2) (2).
Введём переменную x = h/R; произведя замену h = x*R и dh = dx*R в (1) и (2), имеем:
dW = 2*Г*g*L*R^2*dx*SQRT(1 - x^2) (3). Элементарная работа dA, необходимая для поднятия dW на высоту h = x*R равна dA = dW*x*R, или, с учётом (3): dA = 2*Г*g*L*R^3*x*(SQRT(1 - x^2))*dx (4). Заменим, для сокращения записей, 2*Г*g*L*R^3 = K; тогда dA = K*x*(SQRT(1 - x^2))*dx (5). Для отыскания всей работы A нужно выражение: x*(SQRT(1 - x^2))*dx (6) проинтегрировать от 0 до 1 и результат умножить на K.
К сожалению, оказалось, что прямо взять интеграл от (6) мне «не по зубам», поэтому я обратился к «физическому» подходу, вспомнив, что работа численно равна весу всей воды Q, умноженному на расстояние Hc по вертикали от края «корыта» до «центра тяжести» его поперечного сечения (это чисто геометрическое, а не физическое понятие, и к «силе тяжести» отношения не имеет). Значение Hc для полукруга можно найти по адресу http://sopromat.org/info/1/1_1.html; можно также для определения Hc воспользоваться «теоремой 2 Гульдена» (http://www.referats.net/pages/referats/rkr/page.php?id=37125): «Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры». В нашем случае фигура - полукруг радиусом R; если вращать полукруг вокруг диаметра-границы, то получится сфера, объем которой равен (4/3)*пи*R^3; в то же время длина окружности, описанной центром тяжести фигуры, равна 2*пи*Hc, а площадь полукруга равна (1/2)*пи*R^2. Из уравнения:
(4/3)*пи*R^3 = (1/2)*(пи*R^2)*2*пи*Hc получаем Hc = (4/(3*пи))*R (7), что совпадает со значением, найденным в http://sopromat.org/info/1/1_1.html.
Вес воды в корыте равен Q = Г*g*L*(1/2)*пи*R^2, а работа A численно равна A = Q*Hc = Q*(4/(3*пи))*R = Г*g*L*(1/2)*пи*R^2*(4/(3*пи))*R = (2/3)*Г*g*L*R^3 = (2/3)*1000*g*6*2^3 = 32000*9.807 Дж.