давно
Мастер-Эксперт
17387
18346
Решение 4-го уравнения.Имеем линейное неоднородное ДУ 1-го порядка с переменными коэффициентами. Перепишем его в виде 4*x*y*dx+((y^2)-4*(x^2))dy=0 (1). Поскольку частная производная DN/Dy=D(4*x*y)/Dy=4*x не равна частной производной DM/Dx=D((y^2)-4*(x^2))/Dx=-8*x, то уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах, и умножим его на некоторый интегрирующий множитель.Поскольку функция (DM/Dx-DN/Dy)=(-8*x-4*x)/(4*x*y)=-3/y зависит только от одной переменной y, то искомый интегрирующий множительp=p(y)=exp (-3*Integral (dy/y))=1/(y^3).Умножая уравнение (1) на p(y), получаем4*x*dx/(y^2)+((y^2)-4*(x^2))*dy/(y^3)=0, DN1/Dy=-8*x/(y^3), DM1/Dx=-8*x/(y^3), то есть частные производные равны, и уравнение (1) приведено к виду уравнения в полных дифференциалах.Находим интегралы:Integral (N1(x, y)*dx)=Integral (4*x*dx/(y^2))=2*(x^2)/(y^2)+п(y) (2),Integral (M1(x, y)*dy)=Integral ((y^2)-4*(x^2))*dy/(y^3)=ln |y|+2*(x^2)/(y^2)+ф(x) (3).Приравнивая выражения (2) и (3), получаем уравнение 2*(x^2)/(y^2)+п(y)=ln |y|+2*(x^2)/(y^2)+ф(x), откуда находим ф(x)=0, п(y)=ln |y|.Общий интеграл заданного уравнения:ln |y|+(2*(x^2))/(y^2)-C=0.
Об авторе:
Facta loquuntur.