Условие : Найти общее решение ДУ (Дифференциального уравнения) x·y' - y = [$8730$](x² + y²)
В ниже-мини-форуме Вашей Консультации доказано, что что заданное ДУ является однородным. Решаем это ДУ по алгоритму, хорошо-описанному в учебной статье "Однородные диф-уравнения первого порядка" Ссылка1.

Заменяем функцию y(x) произведением некоторой функции t(x) и x : y(x) = t(x)·x

Вычисляем производную y' , используем правило дифференцирования произведения:
y' = (t·x)' = t'·x + t·x' = t'·x + t

Подставляем y = t·x и y' = t'·x + t в исходное уравнение :
x·(t'·x + t) - t·x = [$8730$](x² + t²·x²)

Раскрываем скобки и проводим максимальные упрощения :
x²·t' + t·x - t·x = x·[$8730$](1 + t²)[$8195$] [$8658$] [$8195$] x²·t' = x·[$8730$](1 + t²)[$8195$] [$8658$] [$8195$] x·(dt / dx) = [$8730$](1 + t²)

Разделяем переменные: в левой части собраем т-ко t , а в правой части - т-ко "иксы" :
dt / [$8730$](1 + t²) = dx / x
Интегрируем : [$8747$][dt / [$8730$](1 + t²)] = [$8747$](dx / x)[$8195$] [$8658$] [$8195$] ln|t + [$8730$](t² + 1)| = ln|x| + C1 , тут C1 - некая константа интегрирования.
Экспоненцируем : t + [$8730$](t² + 1)| = x·e^C1
Заменяем фиктивную константу C1 на более удобную фикцию C = e^C1 .
Делаем обратную замена t = y/x :
y/x + [$8730$](y² / x² + 1) = C·x . Умножаем обе части уравнения на x .
Ответ : общее решение диф-уравнения : [$8730$](y² + x²) + y = C·x²

Для проверки я ввёл Ваше исходное уравнение в поле страницы "Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений и Систем" mathdf.com/dif/ru/ Ссылка2 и получил такой же результат. =Удачи!