Вот ещё несколько примеров таких чисел:
2654735² = 7047617920225 3089851² = 9547179202201 4064015² = 16516217920225
4233229² = 17920227766441 5935985² = 35235917920225 6464675² = 41792022855625
7329251² = 53717920221001 7345265² = 53952917920225 8872312² = 78717920225344
10372665² = 107592179202225 10698326² = 114454179202286 10859108² = 117920226555664
12172888² = 148179202260544 12654735² = 160142317920225 13386643² = 179202210809449
13386644² = 179202237582736 13386645² = 179202264356025 13386646² = 179202291129316
13550569² = 183617920223761 14064015² = 197796517920225 15935985² = 253955617920225
17345265² = 300858217920225 22653017² = 513159179202289 22654735² = 513237017920225
23546163² = 554421792022569 24064015² = 579076817920225 25397203² = 645017920223219
25935985² = 672675317920225 26547350² = 704761792022500 27345265² = 747763517920225
27498578² = 756171792022084 30898510² = 954717920220100 32654735² = 1066331717920225
33435314² = 1117920222278596 34339514² = 1179202221756196 34339515² = 1179202290435225
35935985² = 1291395017920225 36303171² = 1317920224655241 37345265² = 1394668817920225
40640150² = 1651621792022500 40841415² = 1668021179202225 41252782² = 1701792022739524
42143329² = 1776060179202241 42332281² = 1792022014662961 42332282² = 1792022099327524
42332283² = 1792022183992089 42332284² = 1792022268656656 42332285² = 1792022353321225
42332286² = 1792022437985796 42332287² = 1792022522650369 42332288² = 1792022607314944
42332289² = 1792022691979521 42332290² = 1792022776644100 42332291² = 1792022861308681
42332292² = 1792022945973264 44064015² = 1941637417920225 44921267² = 2017920228885289
45935985² = 2110114717920225 46681926² = 2179202215069476 47345265² = 2241574117920225
48144784² = 2317920226406656 52654735² = 2772521117920225 54064015² = 2922917717920225
55935985² = 3128834417920225 56384415² = 3179202254892225 57345265² = 3288479417920225
59158585² = 3499738179202225 59312058² = 3517920224195364 59359850² = 3523591792022500
61170189² = 3741792022295721 62464326² = 3901792022634276 62654735² = 3925615817920225
63562404² = 4040179202259216 63676667² = 4054717920228889 64064015² = 4104198017920225
64646750² = 4179202285562500 65935985² = 4347554117920225 66811662² = 4463798179202244
67345265² = 4535384717920225 70015564² = 4902179202238196 70065054² = 4909111792022916
70350403² = 4949179202262409 71775985² = 5151792022720225 72654735² = 5278710517920225
73292510² = 5371792022100100 73452650² = 5395291792022500 73606523² = 5417920228149529
74064015² = 5485478317920225 74091281² = 5489517920220961 75935985² = 5766273817920225
76044184² = 5782717920225856 76721439² = 5886179202230721 77345265² = 5982290017920225
77673148² = 6033117920229904 78177951² = 6111792022558401 78566671² = 6172721792022241
78607902² = 6179202256841604 79485346² = 6317920228739716 82654735² = 6831805217920225
83199953² = 6922232179202209 83773028² = 7017920220288784 84064015² = 7066758617920225
84730173² = 7179202216609929 85935985² = 7384993517920225 86207842² = 7431792022296864
87345265² = 7629195317920225 87398043² = 7638417920229849 88723120² = 7871792022534400
89627335² = 8033059179202225 90438942² = 8179202230079364 92654735² = 8584899917920225
93336981² = 8711792022194361 94064015² = 8848038917920225 94389713² = 8909417920222469
94918703² = 9009560179202209 95935985² = 9203713217920225 96377995² = 9288717920220025
96575472² = 9326821792022784 97323132² = 9471792022289424 97345265² = 9476100617920225
100089561² = 10017920221172721 102429449² = 10491792022443601 102654735² = 10537994617920225
103726650² = 10759217920222500 104064015² = 10829319217920225 105874162² = 11209338179202244
105935985² = 11222432917920225 106489174² = 11339944179202276 106983260² = 11445417920228600
107178259² = 11487179202271081 107345265² = 11523005917920225 107457023² = 11547011792022529
108591077² = 11792022004019929 108591078² = 11792022221202084 108591079² = 11792022438384241
108591080² = 11792022655566400 108591081² = 11792022872749581 108885343² = 11856017920227649
109022804² = 11885971792022416 110359423² = 12179202244892929 110372665² = 12182125179202225
110776659² = 12271468179202281 112406313² = 12635179202253969 112654735² = 12691089317920225
114064015² = 13010599517920225 115599218² = 13363179202211524 115935985² = 13441152617920225
116022322² = 13461179202271684 117345265² = 13769911217920225 117778572² = 13871792022359184
118003899² = 13924920179202201 121460767² = 14752717920228289 121728880² = 14817920226054400
122654735² = 15044184017920225 122954952² = 15117920221322304 123203905² = 15179202207249025
124064015² = 15391879817920225 124273335² = 15443861792022225 124882016² = 15595517920224256
126547350² = 16014231792022500 124273335² = 15443861792022225 127197493² = 16179202225485049
127345265² = 16216816517920225 128121767² = 16415187179202289 129503351² = 16771117920229201
130505908² = 17031792022904464 131069456² = 17179202296135936 131609951² = 17321179202222401
132654735² = 17597278717920225 133866426² = 17920220010013476 (пример, привёдённый в ответе Андрея Владимировича) и т.д.
Подозреваю, что количество таких чисел бесконечно, но получить общую формулу для их нахождения вряд ли возможно.

А есть ли какое-либо логическое объяснение каким образом находить такое число, в котором есть последовательность цифр "1792022" (в одном из ответов даны 170 чисел значит есть какой-то алгоритм)?

А есть ли какое-либо логическое объяснение каким образом находить такое число, в котором есть последовательность цифр "1792022" (в одном из ответов даны 170 чисел значит есть какой-то алгоритм)?

Про алгоритм я Вам не отвечу, потому что не интересуюсь этим, а число, удовлетворяющее условию задачи, я нашёл после того, как вычислил сначала квадратный корень из числа .

Вы спрашивали : "есть ли какое-либо логическое объяснение каким образом находить такое число… ?" - всем читателям Вашей консультации совершенно очевидно, что если эксперт показал Вам 170 числовых пар-находок, значит, он использовал какой-то алгоритм, а не тупо исследовал сотни миллионов чисел на бумажке. При этом Алексей Владимирович подсказал Вам : "получить общую формулу для их нахождения вряд ли возможно". Значит, Алексей использовал программный перебор чисел.

Вывод прост: Если Вам надо часто решать подобные задачи, используйте какой-нибудь несложный Язык программирования.
Напишите программку с циклом перебора чисел например от 1 000 до 3 000 000 000 , возводите их в квадрат, используйте оператор преобразования числа в строковый ТипДанных и проверяйте содержание в этой строке подстроки со значением "1792022".
Я люблю Язык программирования VBScript за то, что он не требует ни компиляторов, ни среды программирования. Его код сразу после создания / правки готов к работе.

Как правильно заметил Владимир Николаевич, я использовал программный перебор чисел (примерно до миллиарда). Некоторые из этих чисел можно получить тем способом, на который указал Андрей Владимирович:


откуда подходящими будут, например, числа 4233229, 13386643...13386646, 42332281...42332292, 133866426...133866463, 423322809...423322926 и т.д., квадрат которых будет начинаться с 1792022 (вычисляя указанные корни с любой степенью точности, можно получить все такие числа). Как Вы правильно заметили, чисел, квадрат которых заканчивается на 1792022, нет. А числа, квадрат которых содержит 1792022 внутри, видимо, придётся искать перебором. По-другому никак.