Решаем 2 примера из задания 1.44 :
Найти указанные пределы, не используя правило Лопиталя:Пример a: x[$8594$]2lim sin(x-2) / (x-2) = 0 / 0 = (*)
Заменим бесконечно малую функцию числителя sin(x-2) на эквивалентную бесконечно малую функцию (x-2) :
(*) =
x[$8594$]2lim (x-2) / (x-2) =
x[$8594$]2lim 1 = 1
Пример б: x[$8594$]0lim (2
x - 2
-x) / tg(3·x + x
3) = 0 / 0 = (*)
Заменим бесконечно малые функции на их эквивалентности:
2
x - 2
-x = (2
x - 1) - (2
-x - 1) [$8594$] x·ln(2) - (-x)·ln(2) = ln(2)·(x - (-x)) = 2·x·ln(2)
tg(3·x + x
3) [$8594$] 3·x + x
3 = x·(3 + x
2)
(*) =
x[$8594$]0lim 2·x·ln(2) / x·(3 + x
2) = 2·ln(2)·
x[$8594$]0lim 1 / (3 + x
2) = 2·ln(2)·[1 / (3 + 0
2)] = 2·ln(2)·(1 / 3) = (2/3)·ln(2) [$8776$] 0,462
Для проверки Вы можете использовать какой-нибудь OnLine-калькулятор. Я люблю вычислять в популярном приложении
Маткад (ссылка1) . Маткад-скриншот с решением прилагаю .
Я мог бы решить больше Ваших задач, если бы Вы писали Условие задачи текстом (его можно скопировать/вставить), а не вынуждали экспертов сначала скачивать Ваши картин-файлы огромного размера, а затем ещё и распознавать текстовые символы из картинки.
Учебные статьи по Вашей теме : "Бесконечно малые функции. Замечательные эквивалентности в пределах"
Ссылка2,
"Таблица замечательных пределов"
Ссылка3.