Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос, вместо "выбрать" нужные названия,значения:
В треугольник ABC вписана полуокружность, диаметр которой лежит на стороне BC. Стороны AB и AC касаются полуокружности в точках C1 и B1 соответственно. Докажите, что прямые BB1 и CC1 пересекаются на высоте треугольника.

Решение. Пусть A1 — основание высоты из вершины A. Для доказательства того, что чевианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, проверим соотношение из обратной теоремы Чевы.
Поскольку треугольник остроугольный и все три основания чевиан лежат на сторонах, для этого требуется проверить соотношение
AB1/B1C?BC1/C1A?CA1/A1B=1.
Отрезки
Выбрать
равны как отрезки касательных к окружности. Поэтому достаточно проверить равенство

Выбрать
.

Обозначим через O центр полуокружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольники
Выбрать
являются прямоугольными с общим острым углом
Выбрать
и, следовательно, подобными. По свойствам подобных треугольников,

BC1/BA1=
Выбрать
.

Аналогично из подобия треугольников
Выбрать
получаем равенство

CB1/CA1=
Выбрать
.

Поскольку B1O=C1O как радиусы полуокружности, отсюда получаем требуемое соотношение.