Условие: определенный интеграл ₀^1/5[$8747$] [arctg(x) - x]·dx / x²
требуется вычислить с точностью 0,001 , представив подынтегральную функцию в виде степенного ряда.

Решение: читаем учебную статью "Приближенное вычисление определённого интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в ряд" Ссылка1
Чтобы получить ряд нашей функцию f(x) = [arctg(x) - x] / x² , разложим в ряд Маклорена сначала функцию
arctg(x) = x - x³ / 3 + x⁵ / 5 - … этих трёх членов вполне достаточно, тк добавление членов этого убывающего знако-чередующегося ряда практически не повышает точность вычисления.
Затем вычисляем числитель дроби: fc(x) = arctg(x) - x = (x - x³ / 3 + x⁵ / 5 - …) - x = -x³ / 3 + x⁵ / 5 - …
Затем всю функцию fs(x) = fc(x) / x² = -x / 3 + x³ / 5 - …
Интегрируем : F(x) = [$8747$] fs(x)·dx = [$8747$] (-x / 3 + x³ / 5)·dx = (-1/3)·[$8747$] x·dx + (1/5)·[$8747$] x³·dx = (-1/3)·(x² / 2) + (1/5)·(x³ / 3) = -x² / 6 + x⁴ / 20
По теореме Ньютона-Лейбница получаем искомый результат i = F(1/5) - F(0) = -0,0066
Ответ : Интеграл ₀^1/5[$8747$] [arctg(x) - x]·dx / x² [$8776$] -0,007 с точностью 0,001 .

Для проверки я вычислил точное значение интеграла в популярном приложении Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с формулами прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.