Условие: В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) биссектриса BL пересекается с биссектрисой угла A в точке i.
Точка X на стороне AB выбрана так, что BX = BC. Прямая Xi пересекает основание BC в точке Y.
Доказать, что LC = BY.

Решение : Латинская заглавная буква i в моём любимом Arial-шрифте очень похожа на малую латину L . Во избежание путаницы я заменил большую i на малую.
Доказательство уже написано в тексте Вашего Вопроса, и мне осталось лишь заменить слова "Выбрать" на требуемые математические выражения. Вставленные мною фразы я выделил жирным шрифтом, а в скобках я разместил поясняющие комментарии:

Заметим, что точки X и C симметричны относительно прямой BL (потому что BL - биссектриса, а BX = BC), поэтому прямые Xi и Ci симметричны относительно этой же прямой, откуда длина отрезка BY равна длине отрезка BK, где K - точка пересечения биссектрисы Ci со стороной AB.
Осталось заметить, что отрезок BK равен отрезку CL, поскольку они симметричны относительно прямой Ai .

Таким образом, BY = BK = CL , что и требовалось доказать.

Для проверки я решил эту задачу методом Аналитической геометрии в популярном приложении Маткад (ссылка) . Маткад избавляет меня от ошибок. Маткад-скриншот с чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Ключевое слово solve,x означает Решить уравнение, прописанное слева от solve относительно искомой переменной x .