Условие: В треугольнике ABC чевианы AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке P .
Заданы соотношения: AC₁ : C₁B = 2 : 3 , BP : PB₁ = 3:1 .
Вычислить отношения : AB₁ : B₁C , BA₁ : A₁C , CP : PC₁ .

Решение: Зададим переменные для отношений : AcB = AC₁ : C₁B = 2/3 , BPb = BP : PB₁ = 3/1 = 3 .
Читаем статью "Чевиана" ru.wikipedia.org/wiki/Чевиана Ссылка и применяем теорему Ван-Обеля о треугольнике, кот-я связывает соотношения одной пары чевианы с соотношениями сторон их общей вершины:
BP : PB₁ = BC₁ : C₁A + BA₁ : A₁C [$8658$] BPb = BcA + BA₁C [$8658$]
BaC = BPb - BcA = 3 - 1 / AcB = 3 - 1 / (2/3) = 3 - 3/2 = 3/2 отношение BA₁ : A₁C .

Используем теорему Чевы (из той же статьи), кот-я связывает соотношения всех треугол-сторон, разделённых чевианами:
(AC₁ : C₁B)·(BA₁ : A₁C)·(CB₁ : B₁A) = 1 [$8658$] AcB·BaC·CbA = 1 [$8658$]
CbA = 1 / (AcB·BaC) = 1 / [(2/3)·(3/2)] = 1/1 = 1 - это отношение CB₁ : B₁A .
Искомое AB₁ : B₁C = AB₁C = 1 / CB₁A = 1 / 1 = 1

И снова теорема Ван-Обеля : CP : PC₁ = CA₁ : A₁B + CB₁ : B₁A [$8658$] CPc = CaB + CbA [$8658$]
CPc = 1 / BaC + 1 = 1 / (3/2) + 1 = 2/3 + 1 = 5/3 - это отношение CP : PC₁ .
Ответ : AB₁ : B₁C = 1 , BA₁ : A₁C = 3/2 , CP : PC₁ = 5/3 .

Чтобы убедиться в правильности Ответа я вычислил эти же соотношения методом Аналитической геометрии. Этот метод гораздо более трудоёмкий для текущей задачи, поэтому я использовал популярное приложение Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.

Доказательство теоремы Чевы Вы можете посмотреть в статье "Вокруг теорем Чевы и Менелая.pdf" 630 кБ Ссылка3. =Удачи!