Условие: В треугольнике ABC стороны AB = 3 , AC = 4 . Точка M - середина стороны BC .
Вычислить Скалярное произведение векторов СП = AM
[$8594$]·BC
[$8594$] .
Решение : Не ленимся и чертим треугольник, тк время-затраты на простейший схематический чертёж всегда окупаются избавлением от путаницы и вероятных ошибок. Поскольку "Точка M - середина стороны BC", значит : BM = MC .
Задаём стрелками направления векторов в соответствии с наименованиями Условия : стороне AB соответствует вектор, направленный от вершины A до вершины B . Соответственно AM - это вектор от вершины A до точки M .
Составляем исходные векторные уравнения согласно чертежу: AB
[$8594$] + BC
[$8594$] = AC
[$8594$] , BM
[$8594$] = BC
[$8594$] / 2 , AB
[$8594$] + BM
[$8594$] = AM
[$8594$] .
Из этих очевидных первичных уравнений готовим производные уравнения векторов для Скалярного произведения:
BC
[$8594$] = AC
[$8594$] - AB
[$8594$]AM
[$8594$] = AB
[$8594$] + BM
[$8594$] = AB
[$8594$] + BC
[$8594$] / 2 = AB
[$8594$] + (AC
[$8594$] - AB
[$8594$]) / 2 = (1/2)·(2·AB
[$8594$] + AC
[$8594$] - AB
[$8594$]) = (1/2)·(AB
[$8594$] + AC
[$8594$])
Всё готово для операции умножения: Умножаем:
СП = AM
[$8594$]·BC
[$8594$] = (1/2)·(AB
[$8594$] + AC
[$8594$])·(AC
[$8594$] - AB
[$8594$]) = (1/2)·(AB
[$8594$]·AC
[$8594$] + AC
[$8594$]·AC
[$8594$] - AB
[$8594$]·AB
[$8594$] - AC
[$8594$]·AB
[$8594$])
Используя переместительный закон скалярного произведения (см учебную статью "
Скалярное произведение векторов… Свойства скаляр-произведения"
Ссылка1 ) заменяем
AB
[$8594$]·AC
[$8594$] - AC
[$8594$]·AB
[$8594$] = AB
[$8594$]·AC
[$8594$] - AB
[$8594$]·AC
[$8594$] = 0 , и тогда у нас остаётся
СП = AM
[$8594$]·BC
[$8594$] = (1/2)·(AC
[$8594$]·AC
[$8594$] - AB
[$8594$]·AB
[$8594$]) = (1/2)·(AC
[$8594$]2 - AB
[$8594$]2) = (1/2)·(AC
2 - AB
2) = (1/2)·(4
2 - 3
2) = (1/2)·(16 - 9) = 7/2 = 3,5
Ответ : Скалярное произведение векторов СП = AM
[$8594$]·BC
[$8594$] = 3,5
Проверка: В популярном приложении
Маткад (ссылка2) задаём длины сторон AB = 3 , AC = 4 и произвольную абсциссу x=1 точки B . Вычисляем Скалярное произведение. Оно всегда равно
СП = AM
[$8594$]·BC
[$8594$] = 3,5 для любого x = (-3 ; +3). Значит, проверка успешна.