Условие : полукольцо радиусом R = 0,2 м имеет заряд Q
1 = 2·10
-6 Кл . Точечный заряд в центре кривизны Q
2 = 40·10
-9 Кл.
Вычислить силу F, действующую на заряд Q
2 .
Решение : Сделаем чертёж. Длина полукольца равна L = [$960$]·R
Поскольку полукольцо не является точечным, представим его как совокупность достаточно малых элементов длины dL , чтобы заряд каждого элемента dL мог считаться точечным. Тк заряд распределён по полукольцу равномерно, на каждый элемент dL приходится элементарный заряд
dq = (Q
1 / L)·dL = Q
1·dL / ([$960$]·R)
Длина дуги dL = R·d[$945$] . Тогда dq = Q
1·R·d[$945$] / ([$960$]·R) = Q
1·d[$945$] / [$960$]
Вычислим силу взаимодействия 2х точечных зарядов : центрального Q
2 и элементарного dq по Закону Кулона :
dF = dq·Q
2 / (4·[$960$]·[$949$]
0·R
2) = Q
1·Q
2·d[$945$] / (4·[$960$]
2·[$949$]
0·R
2)
Здесь [$949$]
0 = 8.854·10
-12 Ф/м - электрическая постоянная.
Результирующую силу взаимодействия находим с помощью принципа суперпозиции. Вектор dF направлен в точке O вдоль прямой, соединяющей заряды dq и Q
2, и составляет с осью OX угол [$945$] . Любому элементарному заряду dq в правой полуплоскости найдётся симметрично расположенный заряд dq' в левой полуплоскости. При геометрическом сложении элементарных сил их составляющие, параллельные оси OX, взаимно компенсируются, а составляющие вдоль оси OY складываются алгебраически. Тогда вклад в результирующую силу взаимодействия от участка dL составит:
dF
y = dF·sin([$945$]) = Q
1·Q
2·sin([$945$])·d[$945$] / (4·[$960$]
2·[$949$]
0·R
2)
В качестве переменной интегрирования выберем угол [$945$] . При перемещении элемента dL по всей длине полукольца угол [$945$] меняется от 0 до [$960$] . Тогда для всего полукольца сила взаимодействия равна:
F =
0[$960$]/2[$8747$] dF
y = [Q
1·Q
2 / (4·[$960$]
2·[$949$]
0·R
2)]·
0[$960$]/2[$8747$] sin([$945$])·d[$945$] = [Q
1·Q
2 / (4·[$960$]
2·[$949$]
0·R
2)]·[-cos([$945$])]
0[$960$]/2 =
= -[Q
1·Q
2 / (4·[$960$]
2·[$949$]
0·R
2)]·(-1 - 1) = Q
1·Q
2 / (2·[$960$]
2·[$949$]
0·R
2) = 0,011 Н
Вычисления я сделал в приложении
Маткад (ссылка1) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот и поясняющий чертёж прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.
Ответ: F = 11 мН . Вектор силы F
[$8594$] направлен вертикально вниз, если заряды однополярны, но вертикально вверх, если заряды разнополярны.
В решении использованы рекомендации университетских "методичек" "
ЭлектроСтатика. Решебник.Ермаков"
rfpro.ru/d/13167.pdf (ссылка2, 1,2 МБ) \ Задача1.2 и
Ссылка3 \ Пример2.