Здравствуйте, verunymel!

В пространстве даны точки А(-2;-4;1)
В(3;4;1) С(5;3;1) S(1;-4;0)
Сделать схематично чертеж пирамиды SABC и найти:
а) длину и уравнения ребра АВ;
б) площадь и уравнение грани АВС;
в) высоту, проведенную из вершины S к грани АВС, и ее уравнения;
г) проекцию вершины S на плоскость АВС;
д) уравнения проекции ребра АS на грань АВС;
е) уравнения прямой, проходящей через вершину S параллельно ребру АВ;
ж) уравнение плоскости, проходящей через вершину S параллельно грани АВС;
з) угол между ребрами АВ и AS;
и) угол между ребром AS и гранью АВС;
к) угол между гранями АВС и АВS;
л) координаты центра тяжести пирамиды АВСS;
м) объем пирамиды АВСS.

Пирамида изображена на рисунке в прикреплённом файле. Рисунок был получен на этом калькуляторе: Ссылка >>.

а) (ед. длины) -- длина ребра


-- канонические уравнения прямой


-- параметрические уравнения прямой


-- уравнения прямой как результата пересечения двух плоскостей;

б)

значит, в качестве нормального вектора плоскости можно принять вектор


-- уравнение грани

-- площадь грани

в) длина высоты, которая проведена из вершины к грани равна расстоянию от точки до грани Поскольку грань параллельна плоскости а точка лежит в этой плоскости, постольку искомая длина высоты равна (грань задаётся уравнением или ). Эту высоту можно задать уравнениями и двойным неравенством


г) проекцией вершины на грань является точка

д) проекцию ребра на грань можно задать уравнениями и двойным неравенством


е)
-- уравнения прямой, проходящей через вершину параллельно ребру

ж) -- уравнение плоскости, проходящей через вершину параллельно грани

з)


-- угол между рёбрами и

и)
-- угол между ребром и гранью

к) -- нормальный вектор грани его модуль равен
один из углов между гранями и составляет

а другой --


л) координаты центра тяжести пирамиды суть средние арифметические соответствующих координат её вершин, то есть


м)
-- объём пирамиды.