Здравствуйте, Slonoboy!

Пусть дана функция

1. Из формулы видно, что заданная функция определена на всём множестве вещественных чисел, кроме в которых знаменатель второго слагаемого равен нулю. При этих значениях заданная функция имеет разрыв.

2. Если то Следовательно, график заданной функции пересекает ось абсцисс в точках

Если то Следовательно. график заданной функции пересекает ось ординат в точке

4. Поскольку постольку заданная функция является чётной. Поэтому можно исследовать функцию при а затем распространить результаты исследования на значения

3. Чтобы установить интервалы знакопостоянства заданной функции, решим неравенство

Используя этот онлайн-калькулятор: Ссылка >>, получим, что

Значит, при неотрицательных значениях заданная функция принимает неотрицательные значения, если или При остальных неотрицательных значениях функция принимает отрицательные значения.

Ввиду своей чётности, при неположительных значениях функция принимает неотрицательные значения, если или При остальных неположительных значениях функция принимает отрицательные значения.

5. Поскольку при а при постольку прямая -- вертикальная асимптота графика заданной функции. Ввиду чётности функции вертикальной асимптотой её графика является также прямая

Поскольку при постольку -- горизонтальная асимптота графика функции.

Других асимптот нет.

6. Определим первую производную заданной функции при


Учитывая пункт 4, рассмотрим поведение функции при Функция не определена при (имеет разрыв). Если или то ( при ). Значит, заданная функция возрастает при неотрицательных значениях если причём значение разделяет два промежутка возрастания заданной функции.

Ввиду своей чётности функция убывает при неположительных значениях если причём значение разделяет два промежутка убывания функции.

7. Приравняв к нулю значение производной заданной функции, получим, что Значит, с учётом пункта 6, в точке заданная функция имеет локальный минимум, причём значение функции равно

8. Вычислим вторую производную заданной функции:


Числитель выражения для второй производной принимает положительные значения при любых значениях Знаменатель этого выражения отрицателен при то есть при При этих значениях вторая производная отрицательна, и график функции направлен выпуклостью вниз. При и вторая производная положительна, и график функции направлен выпуклостью вверх. Точек перегиба у графика функции нет.

9. С учётом изложенного выше можно построить график заданной функции. Выполненный на онлайн-калькуляторе, он выглядит так, как показано в прикреплённом файле. Я обозначил на нём оранжевым цветом вертикальные асимптоты, а красным цветом горизонтальную асимптоту.