Здравствуйте, nadechka3535!

Пользуясь только определением интеграла, как предела интегральных сумм, вычислите интеграл от функции y= 2x+5 по отрезку [-1;1].

Так как заданная функция непрерывна на заданном отрезке, то искомый интеграл существует. Разобьём отрезок интегрирования на равных частей и построим полос одинаковой ширины Абсциссы точек разбиения таковы:


За точки примем правые концы оснований -ых полос. Составим интегральную сумму Римана:




В соответствии с определением,

Приведите пример функции, являющейся органиченной на отрезке [-15;-8], для которой не существует определенный интеграл по этому отрезку.

Я ответил на этот вопрос здесь: Ссылка >>.

Разобьем отрезок интегрирования [-1; 1] на N равных частей и определим верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, т.е. на каждом отрезке будем выбирать, соответственно, наибольшее и наименьшее значение. Тогда искомый интеграл (интегральная сумма), если он существует, будет находиться между ними, а, увеличивая N, разность между верхней и нижней частью можно сделать сколь угодно малой. В противном случае, интеграл не существует.

При разбиении отрезка [-1; 1] на N равных частей координаты K-й точки разбиения равны:

x_K = -1 + [$916$]x*k, где K=0, 1, 2, ..., N, а [$916$]x=(1 - (-1)) /N = 2/N

Назовем I-м отрезком отрезок [x_I-1; x_I], но здесь I=1,2, ..., N. Каждый такой отрезок имеет длину [$916$]x.

На данном отрезке функция y=2*x+5 (строго) возрастает. Поэтому на каждом I-м отрезке для нижней суммы Дарбу следует брать значение в левом конце отрезка (наименьшее значение), а для верхней - в правом конце (наибольшее значение).

Нижняя сумма Дарбу (суммирование по I от 1 до N):

S_НИЖН = [$931$] F( x_I-1 )*[$916$]x = [$931$] (2*x_I-1 + 5)*[$916$]x = [$931$] (2*(-1 + [$916$]x*(I-1) ) + 5)*[$916$]x = 3*[$931$]*[$916$]x + 2*([$916$]x)²*[$931$] (I-1) = 3*[$916$]x*N +2*([$916$]x)²*[$931$]*(I-1) =
= 3*[$916$]x*N + 2*([$916$]x)²*(1+N)*N/2 - 2*([$916$]x)²*N = 3*(2/N)*N + 2*(2/N)²*(1+N)*N/2 - 2*(2/N)²*N =
= 6 +4*(N+1)/N - 4/N = 6 + 4 + 4/N - 4/N = 10.

Верхняя сумма Дарбу (суммирование по I от 1 до N):

S_ВЕРХН = [$931$] F( x_I )*[$916$]x = [$931$] (2*x_I + 5)*[$916$]x = [$931$] (2*(-1 + [$916$]x*I ) + 5)*[$916$]x = 3*[$931$]*[$916$]x + 2*([$916$]x)²*[$931$] I = 3*[$916$]x*N +2*([$916$]x)²*[$931$]*I =
= 3*[$916$]x*N + 2*([$916$]x)²*(1+N)*N/2 = 3*(2/N)*N + 2*(2/N)²*(1+N)*N/2 =
= 6 +4*(N+1)/N = 6 + 4 + 4/N -= 10 + 4/N.

Таким образом, значение искомого интеграла S лежит в диапазоне:

10 < S < 10 + 4/N

И если его нужно вычислить с точностью до [$949$], т.е., чтобы S_ВЕРХН - S_НИЖН = 4/N < [$949$], достаточно взять N > 4/[$949$].

Таким образом, интеграл существует и равен 10.

ОТВЕТ: 10.

Что касается функции, ограниченной на отрезке [-15;-8], для которой на этом отрезке интеграл не существует, то это условие будет выполнено, например, если верхняя и нижняя суммы Дарбу существуют, но сходятся к разным пределам.

В качестве примера такой функции обычно приводят функцию Дирихле, в которой функция принимает значение 1, если x - рациональное число, и 0 - если x - иррациональное число.

Поскольку на любом, сколь угодно малом отрезке, есть и рациональные, и иррациональные числа, то на этом отрезка максимальное значение функции равно 1, а минимальное - 0. Поскольку эти максимумы и минимумы одинаковы на всех отрезках разбиения, то нетрудно вычислить верхнюю и нижнюю суммы Дарбу на отрезке [-15;-8].

S_НИЖН =0
S_ВЕРХН= 7

вне зависимости от N.

Таким образом, выбрав [$949$] <7 (например, [$949$] =1) ни при каких N мы не сможем обеспечить, чтобы S_ВЕРХН - S_НИЖН < [$949$].
Значит, на этом отрезке интеграл функции Дирихле не существует.