22.05.2021, 21:21
общий
это ответ
Заметим, что, если умножить z2-z+1 на z+1, то получим z3+1, т.е. z3+1 = (z+1)*(z2-z+1).
С другой стороны, предположим, что после деления многочлена на z3+1 получаем в качестве частного многочлен A(z) и остаток B(z).
Значит, первоначальный многочлен представляется в виде: A(z)*(z3+1) + B(z) или A(z)* (z+1)*(z2-z+1) + B(z).
Отсюда следует, что первое слагаемое также делится на z2-z+1. Поэтому для решения задачи вместо первоначального многочлена достаточно рассмотреть его остаток B(z) от деления на z3+1, который будет многочленом не выше второй степени, а потом найдем остаток от его деления на z2-z+1 и получим ответ к задаче.
Заметим также, что zn = zn-3*(z3+1) - zn-3, а также zn = zn-3*(z3+1) - zn-6*(z3+1)+ zn-6.
То есть для определения остатка при делении zn на z3+1 достаточно рассматривать остаток от деления на z3+1 одночлена (-zn-3) или zn-6. Разумеется, если степень соответствующего одночлена неотрицательная.
Таким образом, вместо z2017 можно рассматривать просто z, т.е. остаток от деления 2017 на 6 равен 1, что обозначим как 2017%6 =1.
Вместо z503 рассматриваем z5, т.к. 503%6=5 или (-z2), т.к. при понижении степени на 3 меняется знак перед одночленом (см. выше).
Вместо z302 рассматриваем z2, т.к. 302%6=2.
Таким образом вместо многочлена z2017 - 2*z503 + 4*z302 + 8 рассматриваем многочлен:
z - 2* (-z2) + 4*z2 + 8 = 6*z2 + z + 8.
Делим его на z2 - z + 1 и получаем искомый остаток 5*z + 2.
ОТВЕТ: 5*z + 2.
Вроде бы, так.