Вас интересует ответ на вопрос:

как найти точку М0(x0,y0,z0)?

Чтобы установить искомые координаты, нужно составить и решить систему трёх уравнений относительно неизвестных величин Первое уравнение можно получить, исходя из того, что точка принадлежит заданной поверхности. Второе уравнение можно получить, исходя из того, что касательная плоскость содержит точку Третье уравнение можно получить, исходя из того, что касательная плоскость параллельна заданной прямой, то есть нормальный вектор касательной плоскости перпендикулярен направляющему вектору заданной прямой.

Вам достаточно этого указания, или нужно, чтобы я выполнил расчёт?

Возможно, Вас заинтересует обсуждение этой задачи здесь: Ссылка >>.

Я бы посмотрел на эту задачу с точки зрения векторов. Сначала покажем, откуда появляется это уравнение плоскости. Это позволит увидеть еще один "секретик".

Можно рассматривать это уравнение как скалярную функцию от х и y, т.е. z(x,y) = 1/3* x^2 - 1/3*y^2. Ее градиент в точке (х0, y0), т.е. направление наибольшего изменения в большую сторону равен ( f'x(x0,y0); f'y(x0,y0) ), т.е. (2/3*x0, -2/3*y0).

В результате изменение функции вблизи точки (x0,y0) в любом направлении (при бесконечно малых смещениях) описывается уравнением:

z-z0=f'x(x0,y0)(x-x0)+f'y(x0,y0)(y-y0)

разумеется, при малых смещениях мы остаемся практически в той же плоскости (т.е. в касательной плоскости), что и отражается линейностью этого уравнения. Таким образом, получается, что фактически это уравнение касательной плоскости в точке (х0, y0; z0), что Вы и написали.

А теперь "секретик". Нам известно, что этой плоскости параллельна прямая с направляющим вектором (2; 1; 2). ПРИМЕЧАНИЕ. Чтобы получить это выражение (2; 1; 2), достаточно взять любые две точки на этой прямой (как начало и конец вектора) и вычесть. Например, можно взять y=0 и y=1 и получить соответствующие х и z.

С другой стороны, поскольку это направляющий вектор прямой, параллельной касательной плоскости, это значит, что сам вектор лежит в этой плоскости (т.к. векторы можно переносить параллельным переносом), т.е. этот вектор отражает одно из возможных направлений, в которых можно перемещаться из точки (x0; y0; z0), оставаясь в касательной плоскости.

Это означает, что это перемещение в направлении, задаваемом вектором (2; 1; 2), описывается нашим уравнением с градиентом (оно же уравнение для касательной плоскости), т.е. что, перемещаясь из точки (х0; y0; z0) на 2 единицы по х и на 1 единицу по y, мы получаем приращение функции на 2 единицы по z, т.е.

2= 2/3*x0*2 -2/3*y0*1.

Это и есть "секретик". Отсюда можно выразить y0 через х0. Что касается, z0, то его можно получить из уравнения поверхности, поэтому оно тоже выражается через х0.

А теперь выписываем найденное Вами уравнение касательной плоскости, где из неизвестных фигурирует только х0. В качестве (x,y,z) подставляем координаты точки М, через которую проходит касательная плоскость, и находим х0. Затем, в свою очередь, находим y0 и z0.

После этого, зная х0, y0 и z0, выписываем уравнение плоскости.

Вроде бы, так.