ПЕРВЫЙ СПОСОБ.

Используем метод разделения переменных, т.е. х и dx- в одну сторону, а t и dt - в другую.

x*dx/dt + t =1

xdx = (1-t)*dt или xdx = - (t-1)*dt

Интегрируем и получаем x*x/2= -(t-1)*(t-1)/2 + C, где С - какая-то константа.

или x*x= -(t-1)*(t-1) + 2*C,

По сути, это уравнение окружности x*x + (t-1)*(t-1) = 2*C (привычнее = R*R)

Или в явном виде,
x(t) = +- sqrt (D+ 2*t+ - t*t)!, где D - константа, при которой D+ 2*t+ - t*t>=0,





ВТОРОЙ СПОСОБ (более общий).

Сначала решаем однородное уравнение, т.е. x*dx/dt + t =0. Используем метод разделения переменных, т.е. х и dx- в одну сторону, а t и dt - в другую.

Получаем: xdx = -t*dt.

Интегрируем обе части и получаем: x*x/2= -t*t/2 + C, где С - какая-то константа. То есть решение такого однородного уравнения, x(t) = +- sqrt (2*C - -t*t) (перед квадратным корнем может быть плюс, а может быть минус).
2*С можно обозначить как В. Получаем x(t) = +- sqrt (B - -t*t).

Теперь решаем изначальное уравнение, рассматривая В как функцию времени, т.е. B(t). Подставляем выражение для x(t) в первоначальное уравнение. Приводим подобные и получаем: 1/2*dB/dt =1 или dB/dt =2. Откуда B(t) = 2*t+D - где D-произвольная константа.

Подставляем найденное В(t) в решение для однородного уравнения и получаем ответ:

x(t) = +- sqrt (D+ 2*t+ - t*t)!, где D - константа, при которой D+ 2*t+ - t*t>=0,

То есть D >= t*t - 2*t.

Очевидно, если t может быть бесконечным, то такой константы не существует.

А если посмотреть на это решение с геометрической точки зрения в плоскости Хt (аналог плоскости XY), то получается, что эти две ветки решения можно записать в виде:
x*x + (t-1)*(t-1) = D+1 (или, более привычно = R*R), т.е. решением этого уравнения являются любые окружности в плоскости Хt с центром в точке x=0 t=1 и произвольным радиусом R.