В ответе написано, что делится при всех четных n и не делится при всех нечетных. Мне нужно обоснованное решение. Я так понимаю это доказывается через индукцию, а у меня с этим плохо.

Тогда условие задачи должно звучать несколько иначе, потому как фраза n принадлежит N означает все натуральные числа
вот чего получилось.. легче не придумала

Чтобы число делилось на 63, оно должно делиться на 9 и на 7.
Делимость на 9.
Очевидно, 10^n - 1 делится на 9 при любом n = 1,2, ... .
6^n и 3^n при n >= 2 имеют по крайней мере две тройки в разложении на простые множители, и, следовательно, делятся на 9. Значит, 10^n + 6^n - 3^n - 1 делится на 9 при n>= 2.
Делимость на 7.
10^n = (7 + 3)^n. Как несложно понять, отсюда следует, что 10^n и 3^n дают одинаковые остатки при делении на 7. Поэтому 10^n - 3^n делится на 7 при всех натуральных n.
6^n = (7 - 1)^n. При n = 1, 2, 3, ... деление на 7 даст остатки -1, 1, -1, 1, ... (или, что тоже, 6, 1, 6, 1, ... ).
Отсюда следует, что 6^n - 1 делится на 7 при четных n и не делится при нечетных.
Подводя итог, получим, что 10^n + 6^n - 3^n - 1 делится на 63 при четных n.

Спасибо