Здравствуйте, stepa123q!
1. Работа силы трения равна изменению кинетической энергии тела
A_тр=[$916$]E_k (1)
2. Поскольку конечная скорость доски равна нулю, следовательно
[$916$]E_k=(1/2)mv² (2)
здесь в записи мы уже опустили знаки "-", поскольку в решении данной задачи имеет значение лишь величина изменения кинетической энергии и величина работы силы трения
3. Сила трения линейно зависит от массы той части доски, которая к данному моменту времени оказалась на шершавой поверхности. В свою очередь, эта самая масса dm пропорциональна длине dl части доски на шершавой поверхности (см.рис.1)

Рис.1
4. Работа силы трения численно равна площади треугольника под графиком зависимости F_тр(х) на участке от х=0 до х=l (см.рис.2).
Сила трения, действующая на доску линейно изменяется от 0 до максимального значения
F_{тр max}=[$956$]mg (3) ,
когда уже вся доска окажется на шершавой поверхности.

Рис.2
Отсюда
A_тр=(1/2)[$956$]mgl (4)
5. В соответствии с тождеством (1), приравниваем правые части выражений (2) и (4)
(1/2)mv²=(1/2)[$956$]mgl (5)
Отсюда искомая скорость
v=[$8730$]([$956$]gl)
Удачи