Здравствуйте, Дмитрий!
Дана функция y(x) = (2·x
2 - 5·x + 2) / (4·x
2 - 7·x - 2)
Вычислить предел Lim
x[$8594$]2 y(x)
Решение : При попытке просто подставить значение x = 2 в формулу предела мы получаем неопределённость
Lim
x[$8594$]2 y(x) = 0 / 0
Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители. Для этого решаем квадратные уравнения:
Для 2·x
2 - 5·x + 2 = 0 :
Дискриминант D = b
2 - 4·a·c = 5
2 - 4·2·2 = 25 - 16 = 9
Корни уравнения: x
1,2 = (-b ± [$8730$]D) / (2a) = (5 ± [$8730$]9) / (2·2) = (5 ± 3) / 4
x1 = 2 ; x2 = 1/2
2·x
2 - 5·x + 2 = 2·(x-2)·(x - 1/2) = (x-2)·(2x - 1)
Аналогично разлагаем знаменатель 4·x
2 - 7·x - 2 = (4x+1)·(x-2)
Сокращаем дробь на множитель (x-2) и получаем
y(x) = (2·x
2 - 5·x + 2) / (4·x
2 - 7·x - 2) = [
(x-2)·(2x - 1)] / [(4x+1)·
(x-2)] = (2x - 1) / (4x+1)
Теперь предел легко вычисляется
Lim
x[$8594$]2 y(x) = (2·2 - 1) / (4·2+1) = 3/9 = 1/3
Ответ : предел равен 1/3 .
Хорошая учебная статья по теме Вашего Вопроса "Пределы функций. Примеры решений"
Ссылка