Здравствуйте, Be|_Ena!

В общем случае необходимое и достаточное условие существования экстремума (максимума или минимума) функции двух переменных z(x, y) в некоторой точке имеет вид:

При этом, если производные

положительны, это будет точка минимума, а если отрицательны - точка максимума.
Для функции z = x[sup]3[/sup] + y[sup]3[/sup] + 6xy имеем



Из условия равенства нулю первых производных

определяем множество так называемых стационарных точек (в которых может быть максимум или минимум функции). Оно состоит из двух точек - (0, 0) и (-2, -2). Значение выражения

для этих точек будет равно соответственно -36 и 96, то есть (-2, -2) - точка локального экстремума z = 8 (максимума, с учётом отрицательности вторых производных в этой точке), а (0, 0) не является точкой экстремума.
Осталось проанализировать границы области ABCD, то есть прямые x = -3, x = 1 при -3[$8804$]y[$8804$]-2 и прямые y = -3, y = -2 при -3[$8804$]x[$8804$]1. Подставляя соответствующие значения в выражение для z, получаем функцию одной переменной (x или y) и находим её экстремум стандартным способом:
а) x = -3, z = y[sup]3[/sup] - 18y - 27, z' = 3y[sup]2[/sup] - 18, z" = 6y, условию z' = 0 соответствуют точки y = [$177$][$8730$]6, из которых только точка (-3, -[$8730$]6) принадлежит отрезку AB и является точкой локального максимума z = 12[$8730$]6 - 27 (в ней z"< 0);
б) x = 1, z = y[sup]3[/sup] + 6y + 1, z' = 3y[sup]2[/sup] + 6, z" = 6y, условию z' = 0 не соответствует никакая точка, то есть локальных экстремумов на отрезке CD нет;
в) y = -3, z = x[sup]3[/sup] - 18x - 27, z' = 3x[sup]2[/sup] - 18, z" = 6x, условию z' = 0 соответствуют точки x = [$177$][$8730$]6, из которых только точка (-[$8730$]6, -3) принадлежит отрезку AD и является точкой локального максимума z = 12[$8730$]6 - 27 (в ней z"< 0);
г) y = -2, z = x[sup]3[/sup] - 12x - 8, z' = 3x[sup]2[/sup] - 12, z" = 6x, условию z' = 0 соответствуют точки x = [$177$]2, из которых только точка (-2, -2) принадлежит отрезку BC и уже была определена как точка локального максимума.
Итак, имеем три точки локального экстремума: z(-2, -2) = 8, z(-3, -[$8730$]6) = z(-[$8730$]6, -3) = 12[$8730$]6 - 27, причём все три являются точками локального максимума. Также необходимо вычислить значения функции в точках A, B, C и D: z(-3, -3) = 0, z(-3, -2) = 1, z(1, -2) = -25, z(1, -3) = -44. С учётом этого, максимумом функции в области ABCD будет z(-2, -2) = 8, а минимумом - z(1, -3) = -44.