Здравствуйте, wwesmack!

Обозначим множество в левой части тождества через X₁, а множество в правой части тождества -- через X₂. Докажем, что X₁=X₂, то есть эти множества совпадают.

Пусть элемент x принадлежит множеству X₁. Тогда он принадлежит множеству A и не принадлежит множеству B или принадлежит множеству A и не принадлежит множеству C, то есть этот элемент принадлежит множеству A и не принадлежит объединению множеств B и C. Значит, он не принадлежит и пересечению множеств B и C. Тем самым доказано, что элемент x принадлежит множеству X₂=A\(B[$8745$]C), или множество X₁ является подмножеством множества X₂.

Пусть элемент x принадлежит множеству X₂. Тогда он принадлежит множеству A и не принадлежит общей части, или пересечению, множеств B и C. Значит, он принадлежит дополнению пересечения множеств B и C, или множеству [$172$](B[$8745$]C), которое, согласно закону де Моргана, тождественно множеству ([$172$]B)[$8746$]([$172$]C). Значит, элемент x принадлежит множеству A и хотя бы одному из множеств ([$172$]B) и ([$172$]C) (одному из них или обоим сразу). А это значит, что элемент x принадлежит объединению множеств (A[$8745$]([$172$]B)) и (A[$8745$]([$172$]C). Все элементы первого из этих множеств не принадлежат множеству B, все элементы второго из этих множеств не принадлежат множеству C. Поэтому элемент x принадлежит объединению множеств A\B и A\C, или множеству X₁=(A\B)[$8746$](A\C). Тем самым доказано, что множество X₂ является подмножеством множества X₁.

Поскольку множества X₁ и X₂ по доказанному являются подмножествами друг друга, постольку они совпадают.